Question

一位同學(xué)分別參加了三所大學(xué)自主招生筆試（各校試題各不相同），如果該同學(xué)通過各校筆試的概率分別為

3

4

，

2

3

，

1

2

，且該同學(xué)參加三所大學(xué)的筆試通過與否互不影響．
（I）求該同學(xué)至少通過一所大學(xué)筆試的概率；
（II）設(shè)該同學(xué)通過筆試的大學(xué)所數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）該同學(xué)參加三所大學(xué)的筆試通過與否互不影響．由題意知該同學(xué)至少通過一所大學(xué)的對立事件是一所大學(xué)也沒有通過，根據(jù)對立事件的概率寫出結(jié)果．
（II）通過大學(xué)考試的所數(shù)ξ的可能取值為0，1，2，3，然后分別求出其概率，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（I）如果該同學(xué)通過各校筆試的概率分別為

3

4

，

2

3

，

1

2

，
且該同學(xué)參加三所大學(xué)的筆試通過與否互不影響．
由題意知該同學(xué)至少通過一所大學(xué)的對立事件是一所大學(xué)也沒有通過，
∴要求的概率是P=1-

1

4

×

1

3

×

1

2

=1-

1

24

=

23

24

（II）通過大學(xué)考試的所數(shù)ξ的可能取值為0，1，2，3，那么
P（ξ=0）=

1

24

，P（ξ=1）=

1

4

，
該同學(xué)恰好通過兩所大學(xué)筆試包括三種情況，且這三種情況是互斥的，
∴該同學(xué)恰好通過兩所大學(xué)筆試的概率是P（ξ=2）=

1

4

×

2

3

×

1

2

+

3

4

×

1

3

×

1

2

+

3

4

×

2

3

×

1

2

=

11

24

P（ξ=3）=

1

4

，
∴通過大學(xué)考試的所數(shù)ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	1 24	1 4	11 24	1 4

通過大學(xué)考試的所數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望為：0×

1

24

+1×

1

4

+2×

11

24

+3×

1

4

=

23

12

點(diǎn)評：本題考查相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率以及分布列和數(shù)學(xué)期望，本題解題的關(guān)鍵是利用對立事件寫出要求的概率，注意數(shù)字的運(yùn)算不要出錯．