Question

已知a＞0，函數(shù)f（x）=ln（2-x）+ax．
（1）設(shè)曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線為l，若l與圓（x+1）²+y²=1相切，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在[0，1]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析：由f（x）的解析式，求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，
（1）把x=1代入f（x）中求出f（1）的值即為切點的縱坐標，把x=1代入導(dǎo)函數(shù)中求出的導(dǎo)函數(shù)值即為切線的斜率，根據(jù)切點和斜率寫出切線的方程，又切線l與已知圓相切，利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，讓d等于圓的半徑列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）根據(jù)負數(shù)沒有對數(shù)得到f（x）的定義域，且根據(jù)a大于0，比較導(dǎo)函數(shù)為0和不存在時x的值的大小，然后根據(jù)x的值分兩種情況討論導(dǎo)函數(shù)的正負即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）分2-

1

a

大于等于1和小于1兩種情況即a大于等于1和a小于1大于0兩種情況，根據(jù)（2）求出的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到相應(yīng)區(qū)間的f（x）的最大值和最小值．

解答：解：由f（x）=ln（2-x）+ax，得到f′(x)=

a(x- 2a-1 a )

x-2

，
（1）把x=1代入f（x）得：f（1）=a，則切點坐標為（1，a），
把x=1代入導(dǎo)函數(shù)中得：f′（1）=a-1，則切線的斜率k=a-1，
所以切線方程l為：y-a=（a-1）（x-1），即（a-1）x-y-1=0，
由l與圓（x+1）²+y²=1相切，又圓心坐標（-1，0），半徑r=1，
則圓心到直線l的距離d=

|a|

(a-1)2+1

=r=1，解得a=1；
（2）由2-x＞0，解得x＜2，得到f（x）的定義域為x＜2，又a＞0，得到2-

1

a

＜2，
①當(dāng)x＜2-

1

a

時，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)增；①當(dāng)2-

1

a

＜x＜2時，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)減，
∴f（x）的單調(diào)區(qū)間為：(-∞，2-

1

a

)增；(2-

1

a

，2)減；
（3）由（2）求出的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(-∞，2-

1

a

)增；(2-

1

a

，2)減，
①當(dāng)2-

1

a

≥1，即a≥1時，f（x）在區(qū)間[0，1]上為單調(diào)增函數(shù)，所以f（x）_max=f（1）=a，f（x）_min=f（0）=ln2；
②當(dāng)2-

1

a

＜1，即0＜a＜1時，所以f（x）_max=f（2-

1

a

）=2a-1-lna，f（x）_min=min{f（1），f（0）}；
綜上，得到：f(x)min=

ln2，當(dāng)a＞ln2 a，當(dāng)0＜a≤lg2

，f(x)max=

2a-1-lna，當(dāng)0＜a＜1 a，當(dāng)1≤a

．

點評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求切線上過某點切線方程的斜率，會利用導(dǎo)函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，掌握直線與圓相切時滿足的條件，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一道中檔題．