Question

如圖所示，在△ABC中，D、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，

AE

=

2

3

AD

，

AB

=

a

，

AC

=

b

．
（1）用

a

、

b

表示向量

AD

、

AE

、

AF

、

BE

、

BF

；
（2）求證：B、E、F三點(diǎn)共線．

Answer 1

分析：（1）由題意作出輔助線構(gòu)成平行四邊形ABGC，由四邊形法則和D是AG的中點(diǎn)求出

AD

，由題意求出

AE

，由F是AC的中點(diǎn)求出

AF

，再由向量減法的三角形法則求出

BE

和

BF

；
（2）由（1）求出

BE

=

2

3

BF

，故兩個向量共線，即B、E、F三點(diǎn)共線．

解答：解：（1）如圖所示：解延長AD到G，使

AD

=

1

2

AG

，
連接BG、CG，得到四邊形ABGC，
∵D是BC和AG的中點(diǎn)，
∴四邊形ABGC是平行四邊形，則

AG

=

AB

+

AC

=

a

+

b

，
∴

AD

=

1

2

AG

=

1

2

（

a

+

b

），

AE

=

2

3

AD

=

1

3

（

a

+

b

）．
∵F是AC的中點(diǎn)，∴

AF

=

1

2

AC

=

1

2

b

，
∴

BE

=

AE

-

AB

=

1

3

（

a

+

b

）-

a

=

1

3

（

b

-2

a

）．

BF

=

AF

-

AB

=

1

2

b

-

a

=

1

2

（

b

-2

a

）．
（2）證明：由（1）可知，

BE

=

1

3

（

b

-2

a

），

BF

=

1

2

（

b

-2

a

）．
∴

BE

=

2

3

BF

，即

BE

、

BF

是共線向量，所以B、E、F三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評：本題考查了向量的線性運(yùn)算和共線向量的等價條件，主要運(yùn)用了向量的數(shù)乘運(yùn)算，向量加法的四邊形和向量減法的三角形法則．