設(shè)數(shù)列{an}、{bn}、{cn}滿足：bn=an-an+2，cn=an+2an+1+3an+2（n=1，2，3，…），
證明：{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是{cn}為等差數(shù)列且bn≤bn+1（n=1，2，3，…）
分析：本小題主要考查等差數(shù)列、充要條件等基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學知識分析問題、解決問題的能力．理解公差d的涵義，能把文字敘述轉(zhuǎn)化為符號關(guān)系式．利用遞推關(guān)系是解決數(shù)列的重要方法，要求考生熟練掌握等差數(shù)列的定義、通項公式及其由來．
解答：證明：（必要性）
設(shè)是{a
n}公差為d
1的等差數(shù)列，則
b
n+1-b
n=（a
n+1-a
n+3）-（a
n-a
n+2）=（a
n+1-a
n）-（a
n+3-a
n+2）=d
1-d
1=0
所以b
n≤b
n+1（n=1，2，3，）成立．
又c
n+1-c
n=（a
n+1-a
n）+2（a
n+2-a
n+1）+3（a
n+3-a
n+2）=d
1+2d
1+3d
1=6d
1（常數(shù)）（n=1，2，3，）
所以數(shù)列{c
n}為等差數(shù)列．
（充分性）
設(shè)數(shù)列{c
n}是公差為d
2的等差數(shù)列，且b
n≤b
n+1（n=1，2，3，）
∵c
n=a
n+2a
n+1+3a
n+2①
∴c
n+2=a
n+2+2a
n+3+3a
n+4②
①-②得c
n-c
n+2=（a
n-a
n+2）+2（a
n+1-a
n+3）+3（a
n+2-a
n+4）=b
n+2b
n+1+3b
n+2∵c
n-c
n+2=（c
n-c
n+1）+（c
n+1-c
n+2）=-2d
2∴b
n+2b
n+1+3b
n+2=-2d
2③
從而有b
n+1+2b
n+2+3b
n+3=-2d
2④
④-③得（b
n+1-b
n）+2（b
n+2-b
n+1）+3（b
n+3-b
n+2）=0⑤
∵b
n+1-b
n≥0，b
n+2-b
n+1≥0，b
n+3-b
n+2≥0，
∴由⑤得b
n+1-b
n=0（n=1，2，3，），
由此不妨設(shè)b
n=d
3（n=1，2，3，）
則a
n-a
n+2=d
3（常數(shù)）．
由此c
n=a
n+2a
n+1+3a
n+2=c
n=4a
n+2a
n+1-3d
3從而c
n+1=4a
n+1+2a
n+2-5d
3，
兩式相減得c
n+1-c
n=2
（a
n+1-a
n）-2d
3因此
an+1-an=(cc+1-cc)+d3=d2+d3（常數(shù)）（n=1，2，3，）
所以數(shù)列{a
n}公差等差數(shù)列．
綜上所述：：{a
n}為等差數(shù)列的充分必要條件是{c
n}為等差數(shù)列且b
n≤b
n+1（n=1，2，3，…）
點評：有關(guān)充要條件的證明問題，要分清哪個是條件，哪個是結(jié)論，由“條件”?“結(jié)論”是證明命題的充分性，由“結(jié)論”、“條件”是證明命題的必要性．證明要分兩個環(huán)節(jié)：一是充分性；二是必要性．
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