Question

已知拋物線y²=4x，點(diǎn)M（1，0）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為N，直線l過點(diǎn)M交拋物線于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：直線NA，NB的斜率互為相反數(shù)；
（Ⅱ）求△ANB面積的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0）（m＞0，且m≠1）．根據(jù)（Ⅰ）（Ⅱ）推測(cè)并回答下列問題（不必說明理由）：
①直線NA，NB的斜率是否互為相反數(shù)？
②△ANB面積的最小值是多少？

Answer 1

分析：（1）先設(shè)直線方程，然后與拋物線方程聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，進(jìn)而可得到兩根之和與兩根之積，即可表示出y₁y₂，然后表示出直線NA，NB的斜率再相加，整理可得k_NA+k_NB=0，得證．
（2）根據(jù)S△NAB=|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

，再由（1）中的兩根之和與兩根之積的結(jié)果可求出S_△NAB=4

1+ 1 k2

＞4，而當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，S_△NAB=4可得到△ANB面積的最小值為4．
（3）根據(jù)（1）（2）中的計(jì)算和結(jié)論可得到推論①k_NA=-k_NB；②△ANB面積的最小值為4m

m

．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0）．
由

y=k(x-1) y2=4x

可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

2k2+4

k2

，x1x2=1．
∴y₁y₂=-4∵N（-1，0）kNA+kNB=

y1

x1+1

+

y2

x2+1

=

4y1

y 2 1 +4

+

4y2

y 2 2 +4

=

4[y1( y 2 2 +4)+y2( y 2 1 +4)]

( y 2 1 +4)( y 2 2 +4)

=

4(-4y2+4y1-4y1+4y2)

( y 2 1 +4)( y 2 2 +4)

=0．
又當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，點(diǎn)A，B關(guān)于x軸，顯然k_NA+k_NB=0，k_NA=-k_NB．
綜上，k_NA+k_NB=0，k_NA=-k_NB．
（Ⅱ）S△NAB=|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

4(x1+x2)+8

=4

1+ 1 k2

＞4．
當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，S_△NAB=4．
∴△ANB面積的最小值等于4．
（Ⅲ）推測(cè)：①k_NA=-k_NB；
②△ANB面積的最小值為4m

m

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與拋物線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，然后求出兩根之和與兩根之積，再結(jié)合題中所給條件進(jìn)行解答是解答這種題型的一般思路．