Question

（本小題滿分12分）

某企業(yè)科研課題組計(jì)劃投資研發(fā)一種新產(chǎn)品，根據(jù)分析和預(yù)測，能獲得10萬元～1000萬元的投資收益.企業(yè)擬制定方案對課題組進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)方案為：獎(jiǎng)金y(單位：萬元)隨投資收益x(單位：萬元)的增加而增加，且獎(jiǎng)金不超過9萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金也不超過投資收益的20%，并用函數(shù)y= f(x)模擬這一獎(jiǎng)勵(lì)方案.

（Ⅰ）試寫出模擬函數(shù)y= f(x)所滿足的條件；

（Ⅱ）試分析函數(shù)模型y= 4lgx-3是否符合獎(jiǎng)勵(lì)方案的要求？并說明你的理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意，模擬函數(shù)y=f(x)滿足的條件是：

f(x)在［10，1000］上是增函數(shù)；（2）f(x)≤9；（3）f(x)≤x. …………（3分）

(Ⅱ)對于y=4 lg x-3,顯然它在［10，1000］上是增函數(shù)，滿足條件（1），…………………（4分）

又當(dāng)10≤x≤1000時(shí)，4lg10-3≤y≤4lg1000-3,即y［1，9］，從而滿足條件（2）. ……（5分）

下面證明：f(x)≤x，即4lg x-3≤x對于x［10，1000］恒成立. ……………………（6分）

令g(x)= 4lgx-3-x(10≤x≤1000),則g′(x)= ………………（8分）

∵e＜

∴20lge-x＜0，∴g′(x) ＜0對于x ［10，1000］恒成立.

∴g(x)在［10，1000］上是減函數(shù)…………………………………………………………（10分）

∴g(x)在［10，1000］時(shí)，g (x)≤g(10=4lg10-3-×10=-1＜0，

即4lg x-3-x≤0，即4lg x-3≤x對于x ［10，1000］恒成立.從而滿足條件（3）.

故函數(shù)模型y=4lgx-3符合獎(jiǎng)勵(lì)方案的要求. …………………………………………………（12分）