Question

已知函數(shù)：f(x)=

x-a+1

a-x

（a為常數(shù)）．
（1）當(dāng)f（x）的定義域?yàn)閇a+

1

2

，a+1]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）試問：是否存在常數(shù)m使得f（x）+f（m-x）+2=0對(duì)定義域內(nèi)的所有x都成立；若有求出m，若沒有請(qǐng)說明理由．
（3）如果一個(gè)函數(shù)的定義域與值域相等，那么稱這個(gè)函數(shù)為“自對(duì)應(yīng)函數(shù)”．若函數(shù)f（x）在[s，t]（a＜s＜t）上為“自對(duì)應(yīng)函數(shù)”時(shí)，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析：（1）把給出的函數(shù)式拆項(xiàng)變形，得到f(x)=

-(a-x)+1

a-x

=-1+

1

a-x

，然后直接由函數(shù)的定義域求得函數(shù)的值域；
（2）直接把f(x)=

x-a+1

a-x

代入f（x）+f（m-x）+2=0整理，由f（x）+f（m-x）+2=0對(duì)定義域內(nèi)的所有x都成立得到常數(shù)m的值；
（3）由（1）知函數(shù)f（x）為（a，+∞）上的增函數(shù)，根據(jù)“自對(duì)應(yīng)函數(shù)”的定義得到f（s）=s，f（t）=t，則有f（x）=x有兩個(gè)大于a的相異實(shí)根，然后利用方程跟的情況列式求解隨機(jī)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）f(x)=

-(a-x)+1

a-x

=-1+

1

a-x

當(dāng)a+

1

2

≤x≤a+1時(shí)，
-a-1≤-x≤-a-

1

2

，
-2≤

1

a-x

≤-1，
-1≤a-x≤-

1

2

，
∴-3≤-1+

1

a-x

≤-2．
即f（x）的值域?yàn)閇-3，-2]；
（2）假設(shè)存在m使得f（x）+f（m-x）+2=0成立
則f（x）+f（m-x）+2
=-1+

1

a-x

+-1+

1

a-(m-x)

+2
=

2a-m

(a-x)(x-m+a)

=0恒成立，
∴m=2a，
∴存在常數(shù)m=2a滿足題意；
（3）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（a，+∞）上為增函數(shù)，
又[s，t]⊆（a，+∞），∴f（x）在[s，t]上為增函數(shù)，
f（x）的值域?yàn)閇f（s），f（t）]，又函數(shù)f（x）在[s，t]上為“自對(duì)應(yīng)函數(shù)”，
[s，t]=[f（s），f（t）]
∴f（s）=s，f（t）=t
∴f（x）=x有兩個(gè)大于a的相異實(shí)根
即：x²+（1-a）x+1-a=0有兩個(gè)大于a的相異實(shí)根
∴

△=(1-a)2-4(1-a)＞0 a-1 2 ＞a a2+(1-a)a+1-a＞0

，
解得：a＜-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了恒成立問題，考查了函數(shù)的值域，訓(xùn)練了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解，是中檔題．