Question

在△ABC中，“cosA＞cosB”是“sinA＜sinB”的                    （　　）

A．充分非必要條件

B．必要非充分條件

C．充要條件

D．既非充分又非必要條件

Answer 1

分析：本題考查充分條件必要條件的判斷，由“cosA＞cosB”推出“sinA＜sinB”證充分性，“sinA＜sinB”推出“cosA＞cosB”證必要性

解答：解：充分性：在△ABC中，“cosA＞cosB”，由余弦函數(shù)在（0，π）是減函數(shù)，故有A＜B，
若B不是鈍角，顯然有“sinA＜sinB”成立，
若B是鈍角，因為A+B＜π，故有A＜π-B＜

π

2

，故有sinA＜sin（π-B）=sinB
綜上，“cosA＞cosB”可以推出“sinA＜sinB”
必要性：由“sinA＜sinB”
若B是鈍角，在△ABC中，顯然有0＜A＜B＜π，可得，“cosA＞cosB”
若B不是鈍角，顯然有0＜A＜B＜

π

2

，此時也有cosA＞cosB
綜上，“sinA＜sinB”推出“cosA＞cosB”成立
故，“cosA＞cosB”是“sinA＜sinB”的充要條件
故選C

點評：本題考查必要條件、充分條件與充要條件的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握充要條件的判斷方法，利用原命題真假證充分性，逆命題的真假證明必要性，本題中有一個易混點，即沒有搞清誰是誰的充要條件導(dǎo)致證明充分性與必要性交換，邏輯混亂，證明此類題時一定要搞清誰是誰的充要條件，一個易行的辦法是，找出所涉及的命題來，用證明原命題的真假來證明充分性，用證明逆命題的真假來證明必要性