Question

求在(

x

-

1

2• 3 x

)10的展開式中，系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)、系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析：根據(jù)最大的系數(shù)絕對(duì)值大于等于其前一個(gè)系數(shù)絕對(duì)值；同時(shí)大于等于其后一個(gè)系數(shù)絕對(duì)值；列出不等式求出系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)；據(jù)系數(shù)正負(fù)交替出現(xiàn)，故求系數(shù)最大的項(xiàng)，只需研究奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)即可；據(jù)最大的系數(shù)大于等于其前一個(gè)系數(shù)同時(shí)大于等于其后一個(gè)系數(shù)；列出不等式求出系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答：解：（1）設(shè)系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第k+1項(xiàng)，于是

C 20 k •320-k•2k≥ C 20 k+1 •319-k•2k+1 C 20 k •320-k•2k≥ C 20 k-1 •321-k•2k-1

化簡(jiǎn)得

3(k+1)≥2(20-k) 2(21-k)≥3k

解得7.25≤k≤8.25．
所以k=8，即T₉=C₂₀⁸3¹²•2⁸•x¹²y⁸是系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)．
（2）由于系數(shù)為正的項(xiàng)為奇數(shù)項(xiàng)，故可設(shè)第2k-1項(xiàng)系數(shù)最大，于是

C 20 2k-2 •322-2k•22k-2≥ C 20 2k-4 •324-2k•2k-4 C 20 2k-2 •322-2k•22k-2≥ C 20 2k •320-2k•22k

化簡(jiǎn)得

10k2•143k-1007≤0 10k2+163k-924≥0

又k為不超過11的正整數(shù)，可得k=5，即第2×5-1=9項(xiàng)系數(shù)最大，T₉=C₂₀⁸3¹²•2⁸•x¹²y⁸．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大、考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式、考查求系數(shù)最大項(xiàng)的方法．