【題目】已知拋物線焦點為
,直線
過
與拋物線交于
兩點.
到準(zhǔn)線的距離之和最小為8.
(1)求拋物線方程;
(2)若拋物線上一點縱坐標(biāo)為
,直線
分別交準(zhǔn)線于
.求證:以
為直徑的圓過焦點
.
【答案】(1)(2)證明見解析
【解析】
(1)根據(jù)題意及拋物線定義,可知,從而可求出拋物線方程;
(2)當(dāng)直線與
軸垂直時,求出
,
的坐標(biāo),進(jìn)而證得以
為直徑的圓過焦點
;當(dāng)直線
與
軸不垂直時,設(shè)出直線方程,
點和
點坐標(biāo),并與拋物線方程聯(lián)立,
借助根與系數(shù)的關(guān)系以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,證得,從而證出以
為直徑的圓過焦點
.
(1)到準(zhǔn)線的距離之和等于到焦點的距離之和,即為
,
最小為通徑,所以
,解得
,
所以拋物線方程為.
(2)拋物線焦點,準(zhǔn)線方程:
,
由點縱坐標(biāo)為
,得
,
當(dāng)直線與
軸垂直時,
直線方程為,此時,
,
,
直線:
,直線
:
,
所以,,
,
所以,圓心坐標(biāo)為,半徑
,
焦點到圓心的距離,
此時,以為直徑的圓過焦點
.
當(dāng)直線與
軸不垂直時,
設(shè)直線,設(shè)
,
,得
,
,
,
直線為
代入準(zhǔn)線
得:
同理可得
,
所以,所以焦點
在以
為直徑的圓上.
綜上,以為直徑的圓過焦點
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系中,圓.以極點
為原點,極軸為
軸正半軸建立直角坐標(biāo)系
,直線
經(jīng)過點
且傾斜角為
.
求圓
的直角坐標(biāo)方程和直線
的參數(shù)方程;
已知直線
與圓
交與
,
,滿足
為
的中點,求
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在原點,焦點在
軸上,它的一個頂點恰好是拋物線
的焦點,離心率等于
.
(1)求橢圓的方程;
(2)過橢圓的右焦點
作直線
交橢圓
于
、
兩點,交
軸于
點,若
,
,求證:
為定值.
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