Question

焦點在x軸上，離心率為的橢圓經(jīng)過點（，1）．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）過橢圓的一個焦點且互相垂直的直線l₁，l₂分別與橢圓交于A，B和C，D，是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|？若存在，求出實數(shù)λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓方程，利用離心率為的橢圓經(jīng)過點（，1），建立方程，從而可求橢圓方程；．
（2）問題等價于=λ，即是否是定值問題，分類討論，利用韋達定理求得弦長，化簡，即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為（a＞b＞0），則
∵離心率為的橢圓經(jīng)過點（，1）．
∴，，
∴a²=8，b²=4，故橢圓方程是．
（2）問題等價于=λ，即是否是定值問題．
橢圓的焦點坐標是（±2，0），不妨取焦點（2，0），當直線AB的斜率存在且不等于零時，
設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程是y=k（x-2），
代入橢圓方程并整理得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，．
根據(jù)弦長公式，|AB|==
以-代換k，得|CD|==
所以==
即|AB|+|CD|=|AB|•|CD|．
當直線AB的斜率不存在或等于零時，|AB|，|CD|一個是橢圓的長軸長度，一個是通徑長度，
此時==，即|AB|+|CD|=|AB|•|CD|．
綜上所述，故存在實數(shù)λ=，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．