Question

設(shè)函數(shù)，數(shù)列{a_n}滿足．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1，若T_n≥tn²對(duì)n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（III）在數(shù)列{a_n}中是否存在這樣一些項(xiàng)：，這些項(xiàng)能夠構(gòu)成以a₁為首項(xiàng)，q（0＜q＜5，q∈N^*）為公比的等比數(shù)列，k∈N^*．若存在，寫出n_k關(guān)于k的表達(dá)式；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由，（n∈N^*，且n≥2），
知．由此可知．
（II）分n=2m與n=2m-1討論可得，，由此計(jì)算能導(dǎo)出實(shí)數(shù)t的取值范圍．
（III）由，知數(shù)列{a_n}中每一項(xiàng)都不可能是偶數(shù)．存在以a₁為首項(xiàng)，公比q為2或4的數(shù)列，k∈N^*，
此時(shí)，中每一項(xiàng)除第一項(xiàng)外都是偶數(shù)，故不存在以a₁為首項(xiàng)，公比為偶數(shù)的數(shù)列，．再由q=1和q=3分別討論知存在滿足條件的數(shù)列{a_nk}，且．
解答：解：（I）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101221617697934793/SYS201311012216176979347008_DA/9.png">，（n∈N^*，且n≥2），
所以．（2分）
因?yàn)閍₁=1，所以數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列．
所以．（4分）

（II）①當(dāng)n=2m，m∈N*時(shí)，T_n=T_2m=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^2m-1a_2ma_2m+1
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2m（a_2m-1-a_2m+1）=
==．（6分）

②當(dāng)n=2m-1，m∈N*時(shí)，T_n=T_2m-1=T_2m-（-1）^2m-1a_2ma_2m+1==．（8分）
所以
要使T_n≥tn²對(duì)n∈N^*恒成立，
只要使，（n為正偶數(shù)）恒成立．
只要使，對(duì)n為正偶數(shù)恒成立，
故實(shí)數(shù)t的取值范圍為．（10分）

（III）由，知數(shù)列{a_n}中每一項(xiàng)都不可能是偶數(shù)．
存在以a₁為首項(xiàng)，公比q為2或4的數(shù)列，k∈N^*，
此時(shí)中每一項(xiàng)除第一項(xiàng)外都是偶數(shù)，故不存在以a₁為首項(xiàng)，公比為偶數(shù)的數(shù)列．（12分）
②當(dāng)q=1時(shí)，顯然不存在這樣的數(shù)列．
當(dāng)q=3時(shí)，若存在以a₁為首項(xiàng)，公比為3的數(shù)列，k∈N^*．
則，n₁=1，．
所以存在滿足條件的數(shù)列，且．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．