Question

如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=.

(1)求證：AO⊥平面BCD；

（2）求異面直線AB與CD所成角的大小；

（3）求點E到平面ACD的距離.

Answer 1

(1)證明：連結OC.?

∵BO=DO，AB=AD，?

∴AO⊥BD.?

∵BO=DO,BC=CD,?

∴CD⊥BD.?

在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=3，

而AC=2，?

∴AO²+CO²=AC².?

∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.?

∵BD∩OC=O,?

∴AO⊥平面BCD.

(2)解：以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，則B（1，0，0），D（-1，0，0），C（0，，0），A（0，0，1），E（，，0），=（-1，0，1），=（-1，-，0）.?

∴cos〈,〉==,?

∴異面直線AB與CD所成角的大小為arccos.

(3)解法一：設平面ACD的法向量n=(x,y,z),則?

      

∴?

令y=1，得n=(-,1,)是平面ACD的一個法向量，?

又=（-，，0），∴點E到平面ACD的距離?

h===.

解法二：設點E到平面ACD的距離為h.?

∵??

∴.?

在△ACD中，CA=CD=2，AD=，?

∴S_△ACD=×2×=.

而AO=1，S_△CDE=××2²=,?

∴h===.

∴點E到平面ACD的距離為.

點評：本小題主要考查直線與平面的位置關系、異面直線所成的角以及點到平面的距離等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力.