Question

已知定義域為R的奇函數(shù)f(x)，求證：

(1)f(0)=0；

(2)若在區(qū)間[a，b](b＞a＞0)上f(x)有最大值M，那么f(x)在區(qū)間[－b，－a]上必有最小值－M．

Answer 1

答案：略
解析：

充分利用奇函數(shù)的定義及奇函數(shù)圖象的特點求解． 證明　(1)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， f(－0)=－f(0)， 即f(0)=0，如圖． (2)M是f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值，則對于任意的，都有f(x)≤M． 任取，于是≤M f(x)是R上的奇函數(shù)， ， －，， 即對任意的都有≥－M，成立． f(x)在區(qū)間[－b，－a]上的最小值是－M． 利用奇(偶)函數(shù)圖象的特點是解決某些問題的重要輔助手段．該例題的條件反映到圖象上大致是：若[a，b]上，f(x)最大，在圖象上表現(xiàn)為點是函數(shù)圖象在[a，b]上曲線的最高點，由圖象的對稱性可知，一定是圖象在[－b，－a]上曲線的最低點，但圖形不能代替推理證明．