Question

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線C₁的參數(shù)方程為

x=2cosα y=2+2sinα

（其中α為參數(shù)），M是曲線C₁上的動點(diǎn)，且M 是線段OP 的中點(diǎn)，（其中O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)），P 點(diǎn)的軌跡為曲線C₂，直線l 的方程為ρsin（θ+

π

4

）=

2

，直線l 與曲線C₂交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求曲線C₂的普通方程；
（2）求線段AB的長．

Answer 1

分析：（1）把曲線C₁的參數(shù)方乘化為普通方程，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由M 是線段OP 的中點(diǎn)，可得點(diǎn)M的坐標(biāo)，再把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入C₁的普通方程化簡可得所求．
（2）求得直線l的直角坐標(biāo)方程，求出圓心（0，4）到直線的距離d，利用弦長公式求出線段AB 的值．

解答：解：（1）由曲線C₁的參數(shù)方程為

x=2cosα y=2+2sinα

（其中α為參數(shù)），消去參數(shù)化為普通方程為 x²+（y-2）²=4．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由M 是線段OP 的中點(diǎn)，可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

x

2

，

y

2

）．
再由M是曲線C₁上的動點(diǎn)可得 (

x

2

)2+(

y

2

-2)2=4，即 x²+（y-4）²=16．故曲線C₂的普通方程為  x²+（y-4）²=16．
（2）直線l 的方程為ρsin（θ+

π

4

）=

2

，即 ρcosθ+ρsinθ=2，即 x+y-2=0．
由于圓心（0，4）到直線的距離等于d=

|0+4-2|

2

=

2

，圓的半徑等于4，
∴線段AB=2

r2-d 2

=2

14

．

點(diǎn)評：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式、弦長公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．