Question

【題目】拋物線的焦點(diǎn)為上任一點(diǎn)在軸上的射影為中點(diǎn)為，．

（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）直線過與從下到上依次交于，與交于，直線過與從下到上依次交于，與交于，，的斜率之積為，設(shè)的面積分別為，是否存在使得成等比數(shù)列？若存在，求的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）； （2）存在，證明見解析.

【解析】

（1）求出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，則，再設(shè)，由，可得與坐標(biāo)的關(guān)系，再由在拋物線上求得動點(diǎn)的軌跡的方程；(2)存在,使得成等比數(shù)列，的斜率存在，分別設(shè)為，則，，利用三角形面積公式，結(jié)合韋達(dá)定理分別求出的面積，求得、.即可得到,進(jìn)而得解。

（1）由拋物線，得，設(shè)，則，

再設(shè)，

由，

得，

，則，

在拋物線上，

，即；

（2）存在，使得成等比數(shù)列.

證明如下：由題意可知，的斜率存在，分別設(shè)為，則，

直線

聯(lián)立，得.

設(shè).

則，同理，

設(shè)，

則

.

聯(lián)立，可得，得，

則，同理.

.

，

成等比數(shù)列，

存在，使得成等比數(shù)列.