Question

已知函數(shù)f(x)=sin

x

3

cos

x

3

+

3

(1-sin2

x

3

)．
（1）將f（x）寫成Asin（ωx+φ）+B的形式，并求其圖象對稱軸的方程；
（2）如果△ABC的三邊a、b、c的長成等比數(shù)列，且邊b所對的角為x，試求x的范圍及此時函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，結(jié)合正弦函數(shù)的對稱中心、對稱軸方程求解即可；
（2）通過b²=ac，利用余弦定理求出cosx的范圍，然后求出x的范圍，求出

2x

3

+

π

3

的范圍，利用正弦函數(shù)的值域即可求出f（x）的值域．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=sin

x

3

cos

x

3

+

3

(1-sin2

x

3

)
=

1

2

sin

2x

3

+

3

2

(1+cos

2x

3

)=

1

2

sin

2x

3

+

3

2

cos

2x

3

+

3

2

=sin(

2x

3

+

π

3

)+

3

2

．
由

2x

3

+

π

3

=kπ+

π

2

（k∈Z）得x=

3k

2

π+

π

4

（k∈Z），
即其圖象對稱軸的方程x=

3k

2

π+

π

4

（k∈Z）．
（2）由已知b²=ac，cosx=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
∴

1

2

≤cosx＜1，0＜x≤

π

3

則

π

3

＜

2x

3

+

π

3

≤

5π

9

，
∴sin

π

3

＜sin（

2x

3

+

π

3

）≤1，
∴

3

＜sin(

2x

3

+

π

3

)+

3

2

≤1+

3

2

，
則f（x）的值域為(

3

，1+

3

2

]．

點評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡求值，余弦定理的應(yīng)用，正弦函數(shù)的值域的求法，考查計算能力．