Question

已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，S_n滿足關(guān)系式2Sn=Sn-1-(

1

2

)n-1+2，a1=

1

2

（n≥2，n為正整數(shù)）．
（1）令b_n=2ⁿa_n，求證數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）對于數(shù)列{u_n}，若存在常數(shù)M＞0，對任意的n∈N^*，恒有|u_n+1-u_n|+|u_n-u_n-1|+…|u₂-u₁|≤M成立，稱數(shù)列{u_n}為“差絕對和有界數(shù)列”，證明：數(shù)列{a_n}為“差絕對和有界數(shù)列”．

Answer 1

分析：（1）整理題設(shè)遞推式得Sn=-an-(

1

2

)n-1+2進(jìn)而表示出S_n+1，進(jìn)而根據(jù)a_n+1=S_n+1-S_n，求得a_n+1和a_n的遞推式，整理得2ⁿ⁺¹a_n+1=2ⁿ•a_n+1，進(jìn)而根據(jù)b_n=2ⁿa_n，求得b_n+1-b_n=1，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷出數(shù)列為等差數(shù)列．
（2）根據(jù)（1）中數(shù)列{b_n}的首項和公差，求得數(shù)列的通項公式，進(jìn)而根據(jù)b_n=2ⁿa_n求得a_n．
（3）把a_n代入|a_n+1-a_n|+|a_n-a_n-1|+…+|a₂-a₁|中，利用利用錯位想減法求得s_n-

1

2

s_n＜

1

4

，進(jìn)而判斷出以Sn≤

1

2

恒成立，根據(jù)“差絕對和有界數(shù)列”的定義，證明出數(shù)列{a_n}為“差絕對和有界數(shù)列”．

解答：解：（1）當(dāng)n≥2時，Sn=-an-(

1

2

)n-1+2，
Sn+1=-an+1-(

1

2

)n+2
所以an+1=-an+1+an+(

1

2

)n，
即2an+1=an+(

1

2

)n，
所以2ⁿ⁺¹a_n+1=2ⁿ•a_n+1
即b_n+1-b_n=1，（n≥2），又b₂-b₁=2²•2×a₁=1
所以，b_n+1-b_n=1，n∈N⁺即{b_n}為等差數(shù)列
（2）b1=2×a1=1 ，   bn=1+(n-1)=n，   an=

n

2n

（3）由于|a_n+1-a_n|+|a_n-a_n-1|+…+|a₂-a₁|=

n-1

2n+1

+

n-2

2n

+…+

0

22

s_n-

1

2

s_n＜

1

4

所以Sn≤

1

2

恒成立，
即[a_n]為“差絕對和有界數(shù)列”．

點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推式．考查了學(xué)生綜合分析問題和創(chuàng)造性思維的能力．