Question

某市環(huán)保部門通過(guò)研究多年來(lái)該地區(qū)的大氣污染狀況后，建立了一個(gè)預(yù)測(cè)該市一天中的大氣污染指標(biāo)f（t）與時(shí)間t（單位：小時(shí)）之間的關(guān)系的函數(shù)模型：，其中，代表大氣中某類隨時(shí)間t變化的典型污染物質(zhì)的含量；參數(shù)a代表某個(gè)已測(cè)定的環(huán)境氣象指標(biāo)，且．
（1）求g（t）的值域；
（2）求f（t）的最大值M（a）的表達(dá)式；
（3）若該市政府要求每天的大氣環(huán)境綜合指數(shù)不得超過(guò)2.0，試問(wèn)：若按給定的函數(shù)模型預(yù)測(cè)，該市目前的大氣環(huán)境綜合指數(shù)是否會(huì)超標(biāo)？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）因?yàn)?≤t≤24，
得到|t-18|∈[，]，
根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)得到g（t）的值域?yàn)閇0，]；
（2）由（1）可知g（t）的值域?yàn)閇0]，f（t）的最大值M（a），
當(dāng)a∈[0，]時(shí)，M（a）=|+-a|+2a=a+；
當(dāng)a∈（，]時(shí)，M（a）=|-a|+2a=3a-．
則有M（a）=；
（3）當(dāng)時(shí)，M（a）=≤+=＜2；
當(dāng)時(shí)，M（a）=≤．
所以若按給定的函數(shù)模型預(yù)測(cè)，該市目前的大氣環(huán)境綜合指數(shù)不會(huì)超標(biāo)．
分析：（1）先根據(jù)t的范圍求出|t-18|的范圍，進(jìn)而求出|t-18|的范圍，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出g（t）的值域；
（2）由題意先求出f（t）的解析式，然后在區(qū)間[0，]和（，]上討論絕對(duì)值的取值得到M（a）的解析式為分段函數(shù)；
（3）利用（2）的結(jié)論，分時(shí)和時(shí)分別討論M（a）的最值與2的關(guān)系即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用函數(shù)知識(shí)解決應(yīng)用題的有關(guān)知識(shí)．新高考中的重要的理念就是把數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際生活中，如何建模是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵．同時(shí)要熟練地利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)解決函數(shù)的求最值問(wèn)題．