Question

已知不等式2（lo

g

x 0.5

）²+7lo

g

x 0.5

+3≤0的解集為M，求當x∈M時，函數(shù)f（x）=（lo

g

x 2 2

）（lo

g

x 4 2

）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：先解對數(shù)不等式式求出x的取值范圍，然后化簡函數(shù)解析式，利用換元法轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在閉區(qū)間上求值域．

解答：解：由2(log0.5x)2+7log0.5x+3≤0，
∴

(2log0.5x+1)(log0.5x+3)≤0

即

-3≤log0.5x≤- 1 2 ? 2 ≤x≤8，

M={x| 2 ≤x≤8}.

∵f(x)=(log2 x 2 )(log2 x 4 )，

∴

f(x)=(log2x-1)(log2x-2) =(log2x)2-3log2x+2

令u=log₂x得，f(u)=u2-3u+2=(u-

3

2

)2-

1

4

，  u∈[

1

2

，3]
根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性得：
當u=

3

2

時，即x=2

2

時，f（x）_min=-

1

4

當u=3時，即x=8時，f（x）_max=2

點評：本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及換元法的應用和二次函數(shù)的性質(zhì)，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．