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        1. 已知點A、B的距離為2,以B為圓心作半徑為22的圓,P為圓上一點,線段AP的垂直平分線l與直線PB交于點M,當(dāng)P在圓周上運動時點M的軌跡記為曲線C.

          (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求曲線C的方程,并說明它是什么樣的曲線;

          (2)試判斷l(xiāng)與曲線C的位置關(guān)系,并加以證明.

          解:(1)以AB中點為原點,直線AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,則A(-1,0),B(1,0) .

          設(shè)M(x,y),由題意:|MP|=|MA|,|BP|=,所以|MB|+|MA|=.

          故曲線C是以A、B為焦點,長軸長為的橢圓,

          其方程為x2+2y2=2.

          (2)直線l與曲線C的位置關(guān)系是相切.證明如下:

          由(1)知曲線C方程為x2+2y2=2,設(shè)P(m,n),則P在⊙B上,

          故(m-1)2+n2=8,即m2+n2=7+2m .

          當(dāng)P、A、B共線時,直線l的方程為x=±,顯然結(jié)論成立.

          當(dāng)P、A、B不共線時,直線l的方程為y-

          整理得,y=-.

          (x-)+.

          把直線l的方程代入曲線C方程得x2+2(2=2.

          整理得,[n2+2(m+1)2]x2-4(m+1)·(m+3)x+2(m+3)2-2n2=0.

          判別式Δ=[4(m+1)(m+3)]2-4[n2+2(m+1)2] [2(m+3)2-2n2]= -8n2·[(m+3)2-n2-2(m+1)2]

          =-8n2[-m2-n2+2m+7]=0,

          ∴直線l與曲線C相切.

          另證:在直線l上任取一點M′,連結(jié)M′A、M′B、MA,

          由垂直平分線的性質(zhì)得|M′A|=|M′P|,

          ∴|M′A|+|M′B|=|M′P|+|M′B|≥|PB|=(當(dāng)且僅當(dāng)M、M′重合時取”=”).

          ∴直線l與橢圓C有且僅有一個公共點M.

          結(jié)論得證.

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