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        1. 已知F(1,0),P是平面上一動點,P在直線l:x=-1上的射影為點N,且滿足
          (Ⅰ)求點P的軌跡C的方程;
          (Ⅱ)過F的直線與軌跡C交于A、B兩點,試問在直線l上是否存在一點Q,使得△QAB為等邊三角形?若存在,求出Q點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
          【答案】分析:(Ⅰ)設(shè)曲線C上任意一點P(x,y),用坐標(biāo)表示向量,利用,即可求得點P的軌跡C的方程;
          (Ⅱ)設(shè)AB的方程為x=my+1,代入拋物線方程,利用韋達定理確定|AB|=x1+x2+2=4m2+4,AB的中點坐標(biāo),設(shè)直線l上存在一點Q(-1,t),使得△QAB為等邊三角形,從而可得方程組,即可求得結(jié)論.
          解答:解:(Ⅰ)設(shè)曲線C上任意一點P(x,y),
          ∵F(1,0),N(-1,y),∴,
          =(-x,

          ∴-2x+=0
          ∴y2=4x,即為所求的P點的軌跡C對應(yīng)的方程;
          (Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的方程為x=my+1,代入拋物線方程可得y2-4my-4=0
          ∴y1+y2=4m,y1y2=-4,∴x1+x2=(y12+y22)=4m2+2
          ∴|AB|=x1+x2+2=4m2+4,AB的中點坐標(biāo)為(2m2+1,2m)
          設(shè)直線l上存在一點Q(-1,t),使得△QAB為等邊三角形,


          ∴直線l上存在一點Q(-1,2)或Q(-1,4),使得△QAB為等邊三角形.
          點評:本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查向量知識的運用,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
          練習(xí)冊系列答案
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          已知F(1,0),P是平面上一動點,P到直線l:x=-1上的射影為點N,且滿足(
          PN
          +
          1
          2
          NF
          )•
          NF
          =0

          (Ⅰ)求點P的軌跡C的方程;
          (Ⅱ)過點M(1,2)作曲線C的兩條弦MD,ME,且MD,ME所在直線的斜率為k1,k2,滿足k1k2=1,
          求證:直線DE過定點,并求出這個定點.

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          已知F(1,0),P是平面上一動點,P到直線l:x=-1上的射影為點N,且滿足(
          PN
          +
          1
          2
          NF
          )•
          NF
          =0

          (Ⅰ)求點P的軌跡C的方程;
          (Ⅱ)過點M(1,2)作曲線C的兩條弦MA,MB,設(shè)MA,MB所在直線的斜率分別為k1,k2,當(dāng)k1,k2變化且滿足k1+k2=-1時,證明直線AB恒過定點,并求出該定點坐標(biāo).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•臺州模擬)已知F(1,0),P是平面上一動點,P在直線l:x=-1上的射影為點N,且滿足(
          PN
          +
          1
          2
          NF
          )•
          NF
          =0

          (Ⅰ)求點P的軌跡C的方程;
          (Ⅱ)過F的直線與軌跡C交于A、B兩點,試問在直線l上是否存在一點Q,使得△QAB為等邊三角形?若存在,求出Q點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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          已知F(1,0),P是平面上一動點,P到直線l:x=-1上的射影為點N,且滿足數(shù)學(xué)公式
          (Ⅰ)求點P的軌跡C的方程;
          (Ⅱ)過點M(1,2)作曲線C的兩條弦MA,MB,設(shè)MA,MB所在直線的斜率分別為k1,k2,當(dāng)k1,k2變化且滿足k1+k2=-1時,證明直線AB恒過定點,并求出該定點坐標(biāo).

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