Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為正方形，P點在平面ABCD內(nèi)的射影為A，且PA=AB=2，E為PD中點．
（1）證明：PB∥平面AEC；
（2）證明：平面PCD⊥平面PAD；
（3）求二面角E-AC-D的正切值．

Answer 1

分析：（1）連接BD交AC于點O，連接EO，因為O為BD中點，E為PD中點，可得EO∥PB，再利用直線與平面平行的判定定理進(jìn)行證明；
（2）因為P點在平面ABCD內(nèi)的射影為A，可得PA⊥平面ABCD，又因為在正方形ABCD中CD⊥AD且PA∩AD=A，然后利用平面與平面垂直的判定定理進(jìn)行證明；
（3）取AD中點L，過L作LK⊥AC于K，連接EK、EL，可得EL⊥平面ABCD，所以∠EKL為二面角E-AC-D的平面角，然后在Rt△ADC中，LK⊥AC，求∠EKL的正切值，從而求解．

解答：解：（1）證明：連接BD交AC于點O，連接EO．（1分）
∵O為BD中點，E為PD中點，
∴EO∥PB （2分）
∵EO?平面AEC，PB?平面AEC，（3分）
∴PB∥平面AEC、（4分）

（2）證明：∵P點在平面ABCD內(nèi)的射影為A，
∴PA⊥平面ABCD∵CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD．（5分）
又∵在正方形ABCD中CD⊥AD且PA∩AD=A，（6分）
∴CD⊥平面PAD、（7分）
又∵CD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAD．（8分）

（3）解法1：取AD中點L，過L作LK⊥AC于K，連接EK、EL，（9分）
∵L為AD中點，
∴EL∥PA，
∴EL⊥平面ABCD，
∴LK為EK在平面ABCD內(nèi)的射影．
又∵LK⊥AC，∴EK⊥AC，（11分）
∴∠EKL為二面角E-AC-D的平面角．（12分）
在Rt△ADC中，LK⊥AC，
∴△AKL∽△ADC，
∴

KL

DC

=

AL

AC

，即

KL

2

=

1

2 2

，∴KL=

2

2

，（13分）
在Rt△ELK中，tan∠EKL=

EL

KL

=

1

2 2

=

2

，
∴二面角E-AC-D的正切值為

2

．（14分）
解法2：
如圖，以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．（9分）
由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)分別為
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），
D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1）．（10分）
∵PA⊥平面ABCD，
∴

AP

是平面ABCD的法向量，

AP

=（0，0，2）．
設(shè)平面AEC的法向量為

n

=(x，y，z)，

AE

=(0， 1， 1)，

AC

=(2， 2， 0)，
則

n • AE =0 n • AC =0.

即

0+y+z=0 2x+2y+0=0.

∴

z=-y x=-y.

∴令y=-1，則

n

=(1， -1， 1)．（12分）
∴cos＜

AP

，

n

＞=

AP • n

| AP |•| n |

=

2

2× 3

=

1

3

，（13分）
∴tan＜

AP

，

n

＞=

2

．
∴二面角E-AC-D的正切值為

2

．（14分）

點評：此題考查直線與平面平行的判斷及平面與平面垂直的判斷，難度比較大，屬于高考壓軸的題，第一問的此類問題一般先證明兩個面平行，再證直線和面平行，這種做題思想要記住，此類立體幾何題是每年高考必考的一道大題，同學(xué)們要課下要多練習(xí)，注意這方面的題．