Question

如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓C的頂點(diǎn)，B是直線AF₂與橢圓C的另一個交點(diǎn)，∠F₁AF₂＝60°

(1)求橢圓C的離心率；

(2)已知△AF₁B的面積為40，求a，b的值

 

Answer 1

【答案】

(1);(2)

【解析】

試題分析：(1)要掌握橢圓的幾何性質(zhì)以及圖形中對應(yīng)的線段，上圖中，，， （2）可用代數(shù)法，以為參數(shù)，寫出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出的面積，再利用面積為，求出，即求出；當(dāng)然也可幾何方法，由于，在中利用余弦定理，可把用表示出來，再利用面積為，可求出 

試題解析：(1)由題意可知，△AF₁F₂為等邊三角形，a＝2c，所以e＝    3

(2)( 方法一)a²＝4c²，b²＝3c²

直線AB的方程可為y＝－(x－c)

將其代入橢圓方程3x²＋4y²＝12c²，               5

得B                7

所以|AB|＝·＝c         9

由S△AF₁B＝|AF₁|·|AB|sin∠F₁AB         10

＝a·c·＝a²＝40，

解得a＝10，b＝5               12

(方法二)設(shè)|AB|＝t

因?yàn)閨AF₂|＝a，所以|BF₂|＝t－a

由橢圓定義|BF₁|＋|BF₂|＝2a可知，|BF₁|＝3a－t

再由余弦定理(3a－t)²＝a²＋t²－2atcos60°可得，

t＝a

由＝a·a·＝a²＝40知，a＝10，b＝5 

考點(diǎn)：（1）橢圓的離心率；（2）橢圓的定義和三角形的面積、余弦定理