Question

【題目】拋物線，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，.

（1）證明：直線過定點(diǎn)；

（2）若以為圓心的圓與直線相切，且切點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求該圓的面積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）或

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)，，，利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，再利用斜率公式求出切線的斜率，進(jìn)而求出直線的方程，從而可證明直線過定點(diǎn)；

（2）將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求出點(diǎn)坐標(biāo)，借助向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，求得或，進(jìn)而求得圓的面積.

（1）設(shè)，，則，

由，

所以，所以切線的斜率為，

故，整理得，

設(shè)，同理可得，

所以直線的方程為，

所以直線恒過定點(diǎn).

（2）由（1）得直線的方程為，

由，得，

，，

設(shè)為線段的中點(diǎn)，則，

由于，而，

與向量平行，所以，

解得或，

當(dāng)時(shí)，圓半徑，所以圓的面積為，

當(dāng)時(shí)，圓半徑，所以圓的面積為.

所以，該圓的面積為或.