Question

正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=

2

，AF=1，M是EF的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AM∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：AM⊥平面BDF；
（Ⅲ）在線段CA上是否存在點(diǎn)P，使直線PF與CD所成的角為60°．若存在請(qǐng)確定點(diǎn)P位置，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)底面對(duì)角線的交點(diǎn)為O，連接E、O，根據(jù)M為EF的中點(diǎn)，四邊形ACEF為矩形則EM∥AO且EM=AO，從而AM∥OE，又OE在平面BDE面內(nèi)，AM在平面BDE面外，滿足線面平行的判定定理所需條件，從而證得結(jié)論；
（Ⅱ）一點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CD、CB、CE為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量

AM

，

BD

，

DF

，根據(jù)

AM

•

BD

=0，

AM

•

DF

=0可得AM⊥BD，AM⊥DF，而BD∩DF=D，根據(jù)線面垂直的判定定理可證得AM⊥平面BDF；
（Ⅲ）設(shè)P（x，y，z），

CP

=t

CA

 （0≤t≤1），求出

PF

，

CD

，根據(jù)直線PF與CD所成的角為60°建立等式求出t的值，從而確定點(diǎn)P的位置．

解答：（Ⅰ）證明：設(shè)底面對(duì)角線的交點(diǎn)為O，連接E、O． …（1分）
∵M(jìn)為EF的中點(diǎn)，四邊形ACEF為矩形
∴EM∥AO且EM=AO
∴AM∥OE         …（2分）
又OE在平面BDE面內(nèi)，AM在平面BDE面外          …（3分）
∴AM∥平面BDE．  …（4分）
（Ⅱ）證明：建立如圖所示的坐標(biāo)系C-xyz
A（

2

，

2

，0），M（

2

2

，

2

2

，1），B（0，

2

，0），D（

2

，0，0），F(xiàn)（

2

，

2

，1），

AM

=（-

2

2

，-

2

2

，1），

BD

=（

2

，-

2

，0），

DF

=（0，

2

，1），
∵

AM

•

BD

=0，

AM

•

DF

=0
∴AM⊥BD，AM⊥DF  …（6分）
又∵BD∩DF=D        …（7分）
∴AM⊥平面BDF       …（8分）
（Ⅲ）證：設(shè)P（x，y，z），則C（0，0，0），A（

2

，

2

，0），D（

2

，0，0），F(xiàn)（

2

，

2

，1），
設(shè)

CP

=t

CA

 （0≤t≤1）即
（x，y，z）=t（

2

，

2

，0）=（

2

t，

2

t，0）
∴P（

2

t，

2

t，0）…（10分）
∴

PF

=（

2

-

2

t，

2

-

2

t，1），

CD

=（

2

，0，0），
∴cos＜

PF

，

CD

＞=

2 - 2 t

5-8t+4t2 2

=±

1

2

  （0≤t≤1）
∴t=

1

2

或t=

3

2

（舍）
∴

CP

=

1

2

CA

∴P為線段AC的中點(diǎn)     …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用空間向量求直線間的夾角，以及線面平行的判定和線面垂直的判定、異面直線所成角，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．