Question

【題目】有一個(gè)墻角，兩墻面所成二面角的大小為有一塊長(zhǎng)為米，寬為米的矩形木板．用該木板檔在墻角處，木板邊緊貼墻面和地面，和墻角、地面圍成一個(gè)直角三棱柱儲(chǔ)物倉(cāng)．

（1）當(dāng)為多少米時(shí)，儲(chǔ)物倉(cāng)底面三角形面積最大？

（2）當(dāng)為多少米時(shí)，儲(chǔ)物倉(cāng)的容積最大？

（3）求儲(chǔ)物倉(cāng)側(cè)面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）設(shè) ，討論和兩種情況，利用利用基本不等式得出底面三角形的面積的最大值；
（2）設(shè) ，討論和兩種情況，利用利用基本不等式得出三棱柱的體積的最大值；
（3）設(shè) ，討論和兩種情況，利用利用基本不等式得三棱柱的側(cè)面積的最大值．

解：如圖所示：

（1）設(shè) ，
①若，則 ，
∴ ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
∴ ，

②若，同理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．

又，故當(dāng)，時(shí)，儲(chǔ)物倉(cāng)底面三角形ABC的面積最大，
此時(shí)，為等腰三角形， 。

（2）設(shè) ，

①若，由（1）①可知儲(chǔ)物倉(cāng)的容積,

②若，由（1）②可知儲(chǔ)物倉(cāng)的容積,

又 ，

，

由（1）可知當(dāng)時(shí)，儲(chǔ)物倉(cāng)的容積最大．

（3）設(shè) ，

①若，則由余弦定理可得 ，

，即 ，

又 ，

解得： ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．

∴儲(chǔ)物倉(cāng)的側(cè)面積為 ，

②若，同理可得儲(chǔ)物倉(cāng)的側(cè)面積為 ，

綜上，儲(chǔ)物倉(cāng)的側(cè)面積的最大值為。