Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，對(duì)于任意的p，q∈N⁺，有a_p+q=a_p+a_q，數(shù)列{b_n}滿足：an=

b1

2+1

-

b2

22+1

+

b3

23+1

-

b4

24+1

+…+(-1)n-1

bn

2n+1

，（n∈N^•），
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式和數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)Cn=3n+λbn(n∈N•)，是否存在實(shí)數(shù)λ，當(dāng)n∈N⁺時(shí)，C_n+1＞C_n恒成立，若存在，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）取p=n，q=1，則a_n+1=a_n+a₁=a_n+2，所以a_n+1-a_n=2，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．由an=

b1

2+1

-

b2

22+1

+

b3

23+1

-

b4

24+1

+…+(-1)n-1

bn

2n+1

（n≥1），知an-1=

b1

2+1

-

b2

22+1

+

b3

23+1

-

b4

24+1

+…+(-1)n-2

bn-1

2n-1+1

（n≥2），所以(-1)n-1

bn

2n+1

=2（n≥2）b_n=（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2），由此能夠得到b_n．
（2）C_n=3ⁿ+（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）•λ．假設(shè)存在λ，使C_n+1＞C_n（n∈N^*）3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ（2ⁿ⁺²+2）•λ＞3ⁿ+（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）•λ[（-1）ⁿ（2ⁿ⁺²+2）-（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）]•λ＞3ⁿ-3ⁿ⁺¹=-2•3ⁿ（-1）ⁿ（3•2ⁿ⁺¹+4）•λ＞-2•3ⁿ．再由n的奇偶性進(jìn)行分類討論知存在實(shí)數(shù)λ，且λ∈（-

9

14

，

3

8

）．

解答：解：（1）取p=n，q=1，則a_n+1=a_n+a₁=a_n+2
∴a_n+1-a_n=2（n∈N^*）
∴{a_n}是公差為2，首項(xiàng)為2的等差數(shù)列
∴a_n=2n
∵an=

b1

2+1

-

b2

22+1

+

b3

23+1

-

b4

24+1

+…+(-1)n-1

bn

2n+1

（n≥1）①
∴an-1=

b1

2+1

-

b2

22+1

+

b3

23+1

-

b4

24+1

+…+(-1)n-2

bn-1

2n-1+1

（n≥2）②
①-②得：(-1)n-1

bn

2n+1

=2（n≥2）b_n=（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）（n≥2）
當(dāng)n=1時(shí)，a1=

b1

3

∴b₁=6滿足上式
∴b_n=（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）（n∈N^*）
（2）C_n=3ⁿ+（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）•λ
假設(shè)存在λ，使C_n+1＞C_n（n∈N^*）3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ（2ⁿ⁺²+2）•λ＞3ⁿ+（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）•λ[（-1）ⁿ（2ⁿ⁺²+2）-（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）]•λ＞3ⁿ-3ⁿ⁺¹=-2•3ⁿ（-1）ⁿ（3•2ⁿ⁺¹+4）•λ＞-2•3ⁿ
當(dāng)n為正偶函數(shù)時(shí)，（3•2ⁿ⁺¹+4）λ＞-2•3ⁿ恒成立λ＞（-

3n

3•2n+2

）max=（-

1

3•( 2 3 )n+2•( 1 3 )n

）max
當(dāng)n=2時(shí)（-

1

3•( 2 3 )n+2•( 1 3 )n

）max=-

9

14

∴λ＞-

9

14

當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，-（3•2ⁿ⁺¹+4）•λ＞-2•3ⁿ恒成立
∴λ＜（

3n

3•2n+2

）min=（

1

3•( 2 3 )n+2•( 1 3 )n

）min
當(dāng)n=1時(shí)[

1

3•( 2 3 )n+2•( 1 3 )n

]min=

3

8

∴λ＜

3

8

綜上，存在實(shí)數(shù)λ，且λ∈（-

9

14

，

3

8

）（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了不等式的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．