Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值為-1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=f（-x）-λf（x）+1，若g（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=log₂[p-f（x）]，若此函數(shù)在定義域范圍內(nèi)不存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值為-1．我們易根據(jù)出關(guān)于系數(shù)a，b，c的方程組，解方程組求出a，b，c值后，即可得到函數(shù)f（x）的解析式；
（2）由（1）的結(jié)論及g（x）=f（-x）-λf（x）+1，我們可以得到g（x）的表達(dá)式，由于其解析式為類二次函數(shù)的形式，故要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類討論，最后綜合討論結(jié)果即可得到實(shí)數(shù)λ的取值范圍；
（3）由函數(shù)h（x）=log₂[p-f（x）]在定義域內(nèi)不存在零點(diǎn)，則根據(jù)真數(shù)必須大于0，1的對(duì)數(shù)等于0的法則，我們可以構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于p的不等式組，解不等式組，即可得到答案．

解答：解：（1）設(shè)f（x）=ax（x+2），又a＞0，f（-1）=-1，
∴a=1，
∴f（x）=x²+2x．（4分）
（2）∵g（x）=f（-x）-λf（x）+1，
∴g（x）=（1-λ）x²-2（1+λ）x+1，
①當(dāng)λ=1時(shí)，g（x）=-4x=1在[-1，1]上是減函數(shù)，滿足要求；
②當(dāng)λ≠1時(shí)，對(duì)稱軸方程為：x=

1+λ

1-λ

．
ⅰ）當(dāng)λ＜1時(shí)，1-λ＞0，所以

1+λ

1-λ

≥1，解得0≤λ＜1；
ⅱ）當(dāng)λ＞1時(shí)，1-λ＜0，所以

1+λ

1-λ

≤-1，解得λ＞1．
綜上，λ≥0．（7分）
（3）函數(shù)h（x）=log₂[p-f（x）]在定義域內(nèi)不存在零點(diǎn)，必須且只須有
p-f（x）＞0有解，且p-f（x）=1無(wú)解．
即[p-f（x）]max＞0，且1不在[p-f（x）]的值域內(nèi)．
f（x）的最小值為-1，
∴函數(shù)y=p-f（x）的值域?yàn)椋?∞，p+1]．
∴

p+1＞0 1＞p+1

，解得-1＜p＜0．
∴p的取值范圍為（-1，0）．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，其中根據(jù)已知條件確定出函數(shù)f（x）的解析式是解答本題的切入點(diǎn)和關(guān)鍵．