Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的圖象與y軸的交點為（0，1），它在y軸右側(cè)的第一個最高點和第一個最低點的坐標(biāo)分別為（x₀，2）和（x₀+2π，-2）．
（1）求f（x）的解析式及x₀的值；
（2）求f（x）的增區(qū)間；
（3）若x∈[-π，π]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)圖象確定函數(shù)的振幅，周期，利用f（0）=1求出φ，求出f（x）的解析式，y軸右側(cè)的第一個最高點即可求出x₀的值；
（2）通過正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，直接求函數(shù)f（x）的增區(qū)間；
（3）通過x∈[-π，π]，求出

1

2

x+

π

6

的范圍，然后利用正弦函數(shù)的值域求f（x）的值域．

解答：解：由圖象以及題意可知A=2，

T

2

=2π，T=4π，ω=

2π

4π

=

1

2

，
函數(shù)f（x）=2sin（

1

2

x+φ），因為f（0）=1=2sinφ，|φ|＜

π

2

，所以φ=

π

6

．
∴f（x）=2sin（

1

2

x+

π

6

）．
由圖象f（x₀）=2sin（

1

2

x₀+

π

6

）=2，所以

1

2

x₀+

π

6

=

π

2

+2kπ k∈Z，
因為在y軸右側(cè)的第一個最高點的坐標(biāo)分別為（x₀，0），
所以x₀=

2π

3

．
（2）由-

π

2

+2kπ≤

1

2

x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
得-

4π

3

+4kπ≤x≤

2π

3

+4kπ，k∈Z，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[-

4π

3

+4kπ，

2π

3

+4kπ]  k∈z．
（3）∵x∈[-π，π]，∴

1

2

x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，∴-

3

2

≤sin（

1

2

x+

π

6

）≤1．
-

3

≤2sin（

1

2

x+

π

6

）≤2．
所以函數(shù)的值域為：[-

3

，2]．

點評：本題是中檔題，考查函數(shù)解析式的求法，阿足協(xié)還是的單調(diào)增區(qū)間的求法，函數(shù)的值域的求法，考查計算能力．