(本小題滿分14分)
如圖4,在三棱柱中,△
是邊長(zhǎng)為
的等邊三角形,
平面
,
,
分別是
,
的中點(diǎn).
(1)求證:∥平面
;
(2)若為
上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)
與平面
所成最大角的正切值為
時(shí),
求平面 與平面
所成二面角(銳角)的余弦值.
(1)延長(zhǎng)交
的延長(zhǎng)線于點(diǎn)
,連接
∵
∥
,且
∴
為
的中點(diǎn). ∴
∥
.∴
∥平面
(2)
【解析】
試題分析:解法一:
(1)證明:延長(zhǎng)交
的延長(zhǎng)線于點(diǎn)
,連接
.
∵∥
,且
,
∴為
的中點(diǎn).
∵為
的中點(diǎn),
∴∥
.
∵平面
,
平面
,
∴∥平面
.
(2)解:∵平面
,
平面
,
∴.
∵△是邊長(zhǎng)為
的等邊三角形,
是
的中點(diǎn),
∴,
.
∵平面
,
平面
,
,
∴平面
.
∴為
與平面
所成的角.
∵,
在Rt△中,
,
∴當(dāng)最短時(shí),
的值最大,則
最大.
∴當(dāng)時(shí),
最大. 此時(shí),
.
∴.
∵∥
,
平面
,
∴平面
.
∵平面
,
平面
,
∴,
.
∴為平面
與平面
所成二面角(銳角).
在Rt△中,
,
.
∴平面 與平面
所成二面角(銳角)的余弦值為
.
解法二:
(1)證明:取的中點(diǎn)
,連接
、
.
∵為
的中點(diǎn),
∴∥
,且
.
∵∥
,且
,
∴∥
,
.
∴四邊形是平行四邊形.
∴∥
.
∵平面
,
平面
,
∴∥平面
.
(2)解:∵平面
,
平面
,
∴.
∵△是邊長(zhǎng)為
的等邊三角形,
是
的中點(diǎn),
∴,
.
∵平面
,
平面
,
,
∴平面
.
∴為
與平面
所成的角.
∵,
在Rt△中,
,
∴當(dāng)最短時(shí),
的值最大,則
最大.
∴當(dāng)時(shí),
最大. 此時(shí),
.
∴.
在Rt△中,
.
∵Rt△~Rt△
,
∴,即
.
∴.
以為原點(diǎn),與
垂直的直線為
軸,
所在的直線為
軸,
所在的直線為
軸,
建立空間直角坐標(biāo)系.
則,
,
,
.
∴,
,
.
設(shè)平面的法向量為
,
由,
,
得
令,則
.
∴平面的一個(gè)法向量為
.
∵平面
, ∴
是平面
的一個(gè)法向量.
∴.
∴平面 與平面
所成二面角(銳角)的余弦值為
.
考點(diǎn):線面平行的判定及線面角二面角
點(diǎn)評(píng):立體幾何題目若能找到從同一點(diǎn)出發(fā)的三線兩兩垂直則一般采用空間向量的方法求解,并且向量法求解立體幾何問(wèn)題是高考題目的方向。本題還考查了空間想象、推理論證、抽象概括和運(yùn)算求解能力,以及化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
3 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(本小題滿分14分)設(shè)橢圓C1的方程為(a>b>0),曲線C2的方程為y=
,且曲線C1與C2在第一象限內(nèi)只有一個(gè)公共點(diǎn)P。(1)試用a表示點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)設(shè)A、B是橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn),當(dāng)a變化時(shí),求△ABP的面積函數(shù)S(a)的值域;(3)記min{y1,y2,……,yn}為y1,y2,……,yn中最小的一個(gè)。設(shè)g(a)是以橢圓C1的半焦距為邊長(zhǎng)的正方形的面積,試求函數(shù)f(a)=min{g(a), S(a)}的表達(dá)式。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011年江西省撫州市教研室高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)理卷(A) 題型:解答題
(本小題滿分14分)
已知=2,點(diǎn)(
)在函數(shù)
的圖像上,其中
=
.
(1)證明:數(shù)列}是等比數(shù)列;
(2)設(shè),求
及數(shù)列{
}的通項(xiàng)公式;
(3)記,求數(shù)列{
}的前n項(xiàng)和
,并證明
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆山東省威海市高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分14分)
某網(wǎng)店對(duì)一應(yīng)季商品過(guò)去20天的銷售價(jià)格及銷售量進(jìn)行了監(jiān)測(cè)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),第天(
)的銷售價(jià)格(單位:元)為
,第
天的銷售量為
,已知該商品成本為每件25元.
(Ⅰ)寫出銷售額關(guān)于第
天的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)求該商品第7天的利潤(rùn);
(Ⅲ)該商品第幾天的利潤(rùn)最大?并求出最大利潤(rùn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年廣東省高三下學(xué)期第一次月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分14分)已知的圖像在點(diǎn)
處的切線與直線
平行.
⑴ 求,
滿足的關(guān)系式;
⑵ 若上恒成立,求
的取值范圍;
⑶ 證明:(
)
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