Question

如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點(diǎn)M在AD上，正方形ABCD以AD為軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角到AB₁C₁D的位置，同時(shí)點(diǎn)M沿著AD從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，，點(diǎn)Q在MN₁上，在運(yùn)動(dòng)過程中點(diǎn)Q始終滿足=，記點(diǎn)Q在面ABCD上的射影為Q，則在運(yùn)動(dòng)過程中向量與夾角α的正切的最大值為    ．

Answer 1

【答案】分析：該題先轉(zhuǎn)化成平面幾何問題，而運(yùn)動(dòng)過程中向量與夾角α即為∠MBQ，設(shè)BP=x，x∈[0，3]，然而根據(jù)tan∠MBQ=tan（∠MBP-∠QBP）建立關(guān)于x的函數(shù)，最后利用基本不等式求出最值．
解答：解：由題意可知∠QMQ=θ，Q與AD距離始終是MQ=×cosθ=1
畫出平面ABCD的圖形

在運(yùn)動(dòng)過程中向量與夾角α即為∠MBQ，
由題意可設(shè)BP=x，x∈[0，3]
tan∠MBQ=tan（∠MBP-∠QBP）===≤=
當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取等號(hào)
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量在幾何中的應(yīng)用，以及正切的差角公式，同時(shí)考查了利用基本不等式求最值，屬于中檔題．