Question

（2009•荊州模擬）如圖，在矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=2

2

，以CD邊所在直線為y軸，線段CD的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，直線AB上的動點(diǎn)E、F滿足|AE|²+|BF|²=|AB|²．
（1）設(shè)直線CF、DE的交點(diǎn)為P，求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)Q（

5

，0）的直線l與點(diǎn)P的軌跡交于M、N兩點(diǎn)，若|MN|=2，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意得到A，B，C，D點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出E，F(xiàn)，P的坐標(biāo)，分別由C、F、P三點(diǎn)共線，D、E、P三點(diǎn)共線列式得到E、F的坐標(biāo)與P的坐標(biāo)的關(guān)系，再由|AE|²+|BF|²=|AB|²列式化簡得到點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）根據(jù)（1）中求出的曲線方程可知Q為其右焦點(diǎn)，分直線l的斜率存在和不存在兩種情況討論，斜率不存在時由弦長公式列式求斜率，從而求出直線l的方程．

解答：解：（1）由題意可知，A（2

2

，-1）、B（2

2

，1）、C（0，1）、D（0，-1）．
設(shè)E（2

2

，y1）、F（2

2

，y2）、P（x，y）（x＞0）．
∵C、F、P三點(diǎn)共線，所以

y-1

x

=

y2-1

2 2

，得y2-1=

2 2 (y-1)

x

．
同理，由D、E、P三點(diǎn)共線得y1+1=

2 2 (y-1)

x

．
由|AE|²+|BF|²=|AB|²得：
(y1+1)2+(y2-1)2=22．
即[

2 2 (y+1)

x

]2+[

2 2 (y-1)

x

]2=4．
化簡得P的軌跡方程為

x2

4

-y2=1  （x＞0）；
（2）由（1）可知，點(diǎn)P的軌跡是雙曲線

x2

4

-y2=1的右支，點(diǎn)Q即為其焦點(diǎn)，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），若l⊥x軸，易得|MN|=1，不符合題意．
設(shè)直線MN的方程為y=k（x-

5

），則

y=k(x- 5 ) x2 4 -y2=1

，整理得(1-4k2)x2+8

5

k2x-20k2-4=0．
∴

1-4k2≠0 (8 5 k)2-4(1-4k2)(-20k2-4)＞0 x1+x2= 8 5 k2 4k2-1 ＞0 x1x2= 20k2+4 4k2-1 ＞0

，解得k2＞

1

4

．
又|MN|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

( -8 5 k2 1-4k2 )2-4• 20k2+4 4k2-1

=

4 1+k2

|4k2-1|

•

1+k2

=2．
∴

4k2+4

4k2-1

=2，∴k2=

3

2

，k=±

6

2

．
∴所求直線l的方程為y=±

6

2

(x-

5

)．
即y=

6

2

x-

30

2

或y=-

6

2

x+

30

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點(diǎn)是計(jì)算量比較大，要求考生具備較強(qiáng)的運(yùn)算推理的能力，屬壓軸題．