Question

如圖：已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PD⊥底面ABCD，E為棱BC的中點(diǎn)，PD=1．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）求異面直線PB和DE所成角的大�。�（結(jié)果用反三角表示）

Answer 1

分析：（1）直接利用棱錐的體積公式求解；
（2）取PC中點(diǎn)F，連結(jié)EF，由三角形的中位線定理得到PB∥EF，從而找到異面直線PB和DE所成角，然后在△DEF中利用余弦定理求解．

解答：解：（1）∵ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，
∴S_{四邊形ABCD}=4．
又PD⊥底面ABCD，且PD=1．
∴VP-ABCD=

1

3

S四邊形ABCD•PD=

1

3

×4×1=

4

3

；
（2）如圖，
取PC中點(diǎn)F，連結(jié)EF，∵E是BC中點(diǎn)，∴PB∥EF，EF=

1

2

PB．
∴∠DEF為異面直線PB和DE所成的角．
由底面為邊長(zhǎng)為2的正方形，可得DB=2

2

，由PD=1，∴PB=3，
則EF=

3

2

．
由DC=2，CE=1，得DE=

5

．
由PD=1，DC=2，得PC=

5

，∴DF=

5

2

．
在△DEF中，cos∠DEF

DE2+EF2-DF2

2DE•EF

=

( 5 )2+( 3 2 )2-( 5 2 )2

2× 5 × 3 2

=

2 5

5

．
∴異面直線PB和DE所成角的大小為arccos

2 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了棱錐的體積，考查了異面直線所成的角及其求法，求解異面直線所成的角，往往把要求的角轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形的內(nèi)角，借助于余弦定理求解，是中檔題．