Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積．

Answer 1

S_表面＝(60＋4)π．V＝π．

解析試題分析：該圖形旋轉(zhuǎn)后是一個圓臺除去一個倒放的圓錐，
則S_表面＝S_下底面＋S_{臺側(cè)面}＋S_{錐側(cè)面 ，}
設(shè)圓臺上，下地面半徑是r₁，r₂,
則 S_表面=π×r₂²＋π×(r₂＋r₁)×5＋π×r₁×CD
V＝V_臺－V_錐＝π(＋r₁r₂＋)AE－πr²DE，將數(shù)據(jù)代入計算即可。
試題解析：
如圖，設(shè)圓臺上，下地面半徑是r₁，r₂,過C點作CF⊥AB，由∠ADC＝135°，CE⊥AD, CD=2得∠EDC＝45°，r₁=" CE=" 2,

則CF=4，BF=3，CF⊥AB，得BC=5，r₂=" AB=" 5,
∴S_表面＝S_下底面＋S_{臺側(cè)面}＋S_{錐側(cè)面}
=π×r₂²＋π×(r₂＋r₁)×5＋π×r₁×CD
＝π×5²＋π×(2＋5)×5＋π×2×2
＝(60＋4)π．
V＝V_臺－V_錐  
＝π(＋r₁r₂＋)AE－πDE
=π(＋2×5＋)4－π×2
＝π．
考點：圓臺，圓錐的表面積和體積.