Question

如圖，一個(gè)底面半徑為

3

的圓柱被與其底面所成角為30°的平面所截，其截面是一個(gè)橢圓C．
（Ⅰ）求該橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)；
（Ⅱ）以該橢圓C的中心為原點(diǎn)，長(zhǎng)軸所在的直線(xiàn)為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求橢圓C的任意兩條互相垂直的切線(xiàn)的交點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅲ）設(shè)（Ⅱ）中的兩切點(diǎn)分別為A，B，求點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：

分析：（Ⅰ）根據(jù)圓柱的直徑算出橢圓的短軸長(zhǎng)，再由二面角的平面角等于30°，利用三角函數(shù)定義可算出橢圓的長(zhǎng)軸．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．當(dāng)兩切線(xiàn)l₁，l₂的斜率有一條不存在（另一條斜率必為0）時(shí)，點(diǎn)P（±2，±

3

）（四個(gè)）；當(dāng)兩切線(xiàn)l₁，l₂的斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)l₁：y=kx+m，l2：y=-

1

k

x+n，設(shè)P（x₀，y₀），則m=y₀-kx₀，n=y0+

1

k

x0，由此能求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．
（Ⅲ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x₀，y₀），則x02+y02=7，設(shè)兩切點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)過(guò)A（x₁，y₁）的切線(xiàn)y-y₁=k₁（x-x₁），代入橢圓方程得：（3+4k12）x²+8k₁（y₁-k1 x1）x+4（y₁-k₁x₁） 2 -12=0，由此能求出直線(xiàn)AB的方程為

x0x

4

+

y0y

3

=1，從而能求出點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離的最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）：∵圓柱的底面半徑為

3

，∴橢圓的短半軸b=

3

，
又∵橢圓所在平面與圓柱底面所成角為30°
∴cos30°=

3

a

=

3

2

，解得a=2，
∴該橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
①當(dāng)兩切線(xiàn)l₁，l₂的斜率有一條不存在（另一條斜率必為0）時(shí)，點(diǎn)P（±2，±

3

）（四個(gè)）；
②當(dāng)兩切線(xiàn)l₁，l₂的斜率均存在且不為0時(shí)，
設(shè)l₁：y=kx+m，l2：y=-

1

k

x+n，設(shè)P（x₀，y₀），
則m=y₀-kx₀，n=y0+

1

k

x0，
聯(lián)立

y=kx+m 3x2+4y2=12

，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
∵l₁：y=kx+m與橢圓相切，∴△=0，∴m²=4k²+3，同理n2=

4

k2

+3，
∴

(y0-kx0)2=4k2+3 (y0+ 1 k x02)2= 4 k2 +3

，即

y02-2kx0y0+k2x02=4k2+3 y02+ 2 k x0y0+ 1 k2 x02= 4 k2 +3

，
整理，得

y02-2kx0y0+k2x02=4k2+3 k2y02+2kx0y0+x02=4+3k2

，
兩式相加得(k2+1)y02+(k2+1)x02=7(k2+1)，即x02+y02=7，
點(diǎn)P（±2，±

3

）也在此曲線(xiàn)上，
綜上，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x²+y²=7．
（Ⅲ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x₀，y₀），則x02+y02=7，
下面先證明直線(xiàn)AB的方程為

x0x

4

+

y0y

3

=1，
設(shè)兩切點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)過(guò)A（x₁，y₁）的切線(xiàn)：y-y₁=k₁（x-x₁），
代入橢圓方程得：
（3+4k12）x²+8k₁（y₁-k1 x1）x+4（y₁-k₁x₁） 2 -12=0，
由△=0得，(y1-k1x1)2-3-4k12=0，
又

x12

4

+

y12

3

=1，y12=3-

3

4

x12，x12=4-

4

3

y12，
代入得：（k1y1+

3

4

x1）²=0，∴k1=-

3x1

4y1

，
∴過(guò)A（x₁，y₁）的切線(xiàn)l1：

x1x

4

+

y1y

3

=1，
當(dāng)過(guò)A（x₁，y₁）的切線(xiàn)斜率不存在時(shí)仍然符合上式，
同理過(guò)B（x₂，y₂）的切線(xiàn)l2：

x2x

4

+

y2y

3

=1，
∵l₁，l₂均過(guò)P（x₀，y₀），∴

x1x0

4

+

y1y0

3

=1，

x2x0

4

+

y2y0

3

=1，
由此可得直線(xiàn)AB的方程為

x0x

4

+

y0y

3

=1．
∴P點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離d=

| x02 4 + y02 3 -1|

x02 16 + y02 9

=

| x02 4 + 7-x02 3 -1|

x02 16 + 7-x02 9

=

16-x02

7

，
∴x02 ∈[0，7]，∴點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離的最大值和最小值分別為

4 7

7

，

3 7

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的求法，考查交點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的合理運(yùn)用．