Question

已知點(diǎn)A、B、C在球心為O的球面上，△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長分別為a、b、c，且a²=b²+c²+bc，a=

3

，球心O到截面ABC的距離為

2

，則該球的表面積為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)書籍左中點(diǎn)A、B、C在球心為O的球面上，△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長分別為a、b、c，且a²=b²+c²+bc，a=

3

，我們可以根據(jù)余弦定理和正弦定理，求出△ABC的外接圓（截面圓）的半徑，進(jìn)而結(jié)合球心O到截面ABC的距離為

2

，我們可以求出球半徑，代入球的表面積公式，即可求出答案．

解答：解：由已知中a²=b²+c²+bc，
易得cos∠A=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

則∠A=

2π

3

則sin∠A=

3

2

則△ABC的外接圓半徑有：2r=

a

sinA

=2
即△ABC的外接圓半徑r=1
又∵球心O到截面ABC的距離為

2

故球的半徑為R=

3

則該球的表面積S=4•π•R²=12π
故答案為：12π

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球的表面積與正弦定理及余弦定理，其中根據(jù)已知條件計(jì)算出球的半徑是解答本題的關(guān)鍵．