Question

如圖，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱長(zhǎng)為4，連接A₁B，過(guò)A作AF⊥A₁B垂足為F，且AF的延長(zhǎng)線交B₁B于E．
（1）求證：D₁B⊥平面AEC；
（2）求二面角B-AE-C的平面角的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積公式，證明•=0，=0，即可得到結(jié)論；
（2）確定=（3，3，-4）是平面AEC的一個(gè)法向量，=（-1，0，0）是平面ABE的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求得二面角B-AE-C的平面角的正切值．
解答：（1）證明：根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），E（3，3，），D₁（0，0，4）．
∵=（3，3，-4），=（0，3，），=（-3，3，0）
∴•=0，=0
∴⊥，
∵AE∩AC=A
∴D₁B⊥平面AEC；
（2）解：由（1）知，D₁B⊥平面AEC，∴=（3，3，-4）是平面AEC的一個(gè)法向量．
又∵=（-1，0，0）是平面ABE的一個(gè)法向量，
∴cos＜，＞==
∴tan＜，＞=，即二面角B-AE-C的平面角的正切值為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查面面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．