Question

已知函數(shù)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)x₁，x₂，當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，總有f（x₁）-f（x₂）＞0，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：由已知可得函數(shù)是（-∞，+∞）上的減函數(shù)，則分段函數(shù)在每一段上的圖象都是下降的，且在分界點(diǎn)即x=1時(shí)，第一段函數(shù)的函數(shù)值應(yīng)大于等于第二段函數(shù)的函數(shù)值．由此不難判斷a的取值范圍．
解答：解：∵對(duì)任意實(shí)數(shù)x₁，x₂，當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，總有f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴函數(shù)是（-∞，+∞）上的減函數(shù)，
當(dāng)x≥1時(shí)，y=log_ax單調(diào)遞減，
∴0＜a＜1；
而當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=（3a-1）x+4a單調(diào)遞減，
∴a＜；
又函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，
故當(dāng)x=1時(shí)，（3a-1）x+4a≥log_ax，得a≥，
綜上可知，≤a＜．
故選A
點(diǎn)評(píng)：分段函數(shù)分段處理，這是研究分段函數(shù)圖象和性質(zhì)最核心的理念，具體做法是：分段函數(shù)的定義域、值域是各段上x(chóng)、y取值范圍的并集，分段函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性要在各段上分別論證；分段函數(shù)的最大值，是各段上最大值中的最大者．