Question

已知圓C：x²+（y-2）²=5，直線l：mx-y+1=0
（1）求證：對(duì)m∈R，直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)；
（2）當(dāng)m=1時(shí)，設(shè)圓C與直線l相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）利用點(diǎn)到直線的距離可得：圓心C到直線l的距離d，只要證明d＜r，即可得到直線l與與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)．
（2）當(dāng)m=1時(shí)，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心C（0，2）到直線l的距離d，再利用弦長(zhǎng)公式可得|AB|=2

r2-d2

，利用三角形的面積計(jì)算公式可得S_△ABC=

1

2

|AB|•d．

解答：解：（1）圓心C到直線l的距離d=

1

m2+1

≤1＜

5

=r，直線l與與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)．
（2）當(dāng)m=1時(shí)，圓心C（0，2）到直線l的距離d=

|0-2+1|

2

=

2

2

，
∴|AB|=2

5-( 2 2 )2

=3

2

，
S_△ABC=

1

2

|AB|•d=

1

2

×3

2

×

2

2

=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓相交的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式、垂徑定理等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．