Question

如圖，在正方體OABC-O₁A₁B₁C₁中，P，Q分別是棱AB，B₁C₁上的動(dòng)點(diǎn)，且AP=B₁Q，M、N、R分別為AB₁，PQ，BC₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求異面直線(xiàn)PM，A₁C₁所成的角；
（Ⅱ）求證：點(diǎn)N恒在線(xiàn)段MR上．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)OA=1，進(jìn)而用坐標(biāo)表示向量．可得，利用向量的數(shù)量積可得夾角公式，故可求異面直線(xiàn)PM，A₁C₁所成角的余弦值．
（Ⅱ）要證點(diǎn)N恒在線(xiàn)段MR上，即證三點(diǎn)，M，N，R共線(xiàn)，即證
解答：解：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)OA=1
則 O（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0）
C（0，1，0），A₁（1，0，1），O₁（0，0，1）
R（．
當(dāng) 時(shí)，P，
則，
所以 ．
故異面直線(xiàn)PM，A₁C₁所成角的余弦值為．
（Ⅱ）證明：設(shè)，則
P（1，λ，0），Q（1-λ，1，1），則．
所以 
而0≤λ≤1，故 點(diǎn)N恒在線(xiàn)段MR上．
點(diǎn)評(píng)：本題以正方體為載體，考查空間向量，考查線(xiàn)線(xiàn)角，關(guān)鍵是坐標(biāo)系的建立，用坐標(biāo)表示向量．