Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中有一直角梯形ABCD，AB的中點(diǎn)為O，AD⊥AB，AD∥BC，AB=4，BC=3，AD=1，以A，B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)E（0，1），問是否存在直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)且|ME|=|NE|，若存在，求出直線l的斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，確定CA+CB=8，從而可確定橢圓的幾何量，即可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）將直線l：y=kx+m與橢圓聯(lián)立，利用|ME|=|NE|，取MN中點(diǎn)F，利用k_EF•k=-1及判別式，即可得出直線l的斜率的取值范圍．

解答：解：（1）∵AB=4，BC=3，AD⊥AB，AD∥BC
∴AC=5
∴CA+CB=8＞AB=4
∴a=4
∵c=2，∴b²=12
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

16

+

y2

12

=1
（2）設(shè)直線l：y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
將直線l：y=kx+m與橢圓聯(lián)立可得

y=kx+m x2 16 + y2 12 =1

，消去y得

(3+4k2)x2+8kmx+4m2-48=0

∴

△=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-48)＞0

∴16k2+12＞m2

①

∴x1+x2= -8km 3+4k2

，

x1x2= 4m2-48 3+4k2

設(shè)MN中點(diǎn)F（x₀，y₀），

∴x0= x1+x2 2 = -4km 3+4k2

，

y0=kx0+m= 3m 3+4k2

∵|ME|=|NE|，∴EF⊥MN，∴k_EF•k=-1，∴

3m 3+4k2 -1

-4km 3+4k2

•k=-1，
∴m=-（4k²+3）
代入①可得：16k²+12＞（4k²+3）²
∴16k⁴+8k²-3＜0
∴-

1

2

＜k＜

1

2

∴k∈(-

1

2

，

1

2

)

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查存在性問題的探究，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理進(jìn)行求解．