Question

鄭（本題滿分14分）已知定點A(0，)(>0)，直線 ：交軸于點B，記過點A且與直線l₁相切的圓的圓心為點C．
(I)求動點C的軌跡E的方程；
(Ⅱ)設傾斜角為的直線過點A，交軌跡E于兩點 P、Q，交直線于點R．

(1)若tan=1，且ΔPQB的面積為，求的值；
(2)若∈[，]，求|PR|·|QR|的最小值．

Answer 1

解法一：(Ⅰ)連CA，過C作CD⊥l₁，垂足為D，由已知可得|CA|=|CD|，

∴點C的軌跡是以A為焦點，l₁為準線的拋物線，
∴軌跡E的方程為x²=4ay …………………(4分)
(Ⅱ)直線l₂的方程為y=kx+a，與拋物線方程聯(lián)立消去y得                   
x²-4akx-4a²=0．
記P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，
則x₁+x₂=4ak，x₁x₂a²<0.     …………(6分)
(1)若tanα=1,即k=1,此時x₁+x₂=4a, x₁x₂=-4a².
∴S_ΔBPQ=S_ΔABP+S_ΔABQ=a|x₁|+a|x₂|=a|x₂-x₁|
=a=a=a=4a² . …………(8分)
∴4a²=，注意到a>0,∴a =               ………………………………(9分)
(2) 因為直線PA的斜率k≠O，易得點R的坐標為(,-a).            ……(10分)
|PR|·|QR|=·＝（x₁+，y₁+a）·（x₂+，y₂+a）
=（x₁+）（x₂+）+（kx₁+2 a）（kx₂+ 2a）
=(1+k²) x₁ x₂+(+2 ak)( x₁+x₂)+ +4a²
= -4a²(1+k²)+4ak(+2ak)++4a²  =4a²(k²+)+8a²≥8a²+8a²=16a²
又α∈[,],∴k∈[,1],
當且僅當k²=, 即k=1時取到等號．                 ……………………(12分)
從而|PR|·|QR|的最小值為16a².                       ……………………(14分)

解析