Question

【題目】某糧庫(kù)擬建一個(gè)儲(chǔ)糧倉(cāng)如圖所示，其下部是高為2的圓柱，上部是母線(xiàn)長(zhǎng)為2的圓錐，現(xiàn)要設(shè)計(jì)其底面半徑和上部圓錐的高，若設(shè)圓錐的高為，儲(chǔ)糧倉(cāng)的體積為.

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（圓周率用表示）

（2）求為何值時(shí)，儲(chǔ)糧倉(cāng)的體積最大.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， .（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題圓錐和圓柱的底面半徑， 可得儲(chǔ)糧倉(cāng)的體積， .

（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求（Ⅰ）中的函數(shù)最值即可.

試題解析：（Ⅰ）∵圓錐和圓柱的底面半徑， ∴.

∴，即， .

（Ⅱ），令 ，

解得， .又，∴（舍去）.

當(dāng)變化時(shí)， 的變化情況如下表：

故當(dāng)時(shí)，儲(chǔ)糧倉(cāng)的體積最大.

點(diǎn)晴：研究數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而借鑒數(shù)學(xué)模型，對(duì)提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力，以及提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)都是十分重要的．建立模型的步驟可分為： (1) 分析問(wèn)題中哪些是變量，哪些是常量，分別用字母表示； (2) 根據(jù)所給條件，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，確定等量關(guān)系； (3) 寫(xiě)出f(x)的解析式并指明定義域.