Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是邊長為3的正方形，SD丄底面ABCD，SB=3

3

，點E、G分別在AB、SC上，且AE=

1

3

AB，CG=

1

3

SC．
（1）證明：BG∥平面SDE；（2）求面SAD與面SBC所成二面角的大�。�

Answer 1

分析：（1）在SD上取點F，使SF=

2

3

SD，連接FG，F(xiàn)E，由已知條件結合平行線分線段成比例定理，我們可證得BG∥FE，進而根據(jù)線面平行的判定定理即可得到BC∥平面SDE；
（2）連接BD，由已知中SD丄底面ABCD，可得平面SAD⊥平面ABCD，由面面垂直的性質可得△SBC在平面SAD上的投影即為△SAD，則cosθ=

S△SAD

S△SBC

，分別求出兩個三角形的面積即可得到面SAD與面SBC所成二面角的大�。�

解答：證明：（1）在SD上取點F，使SF=

2

3

SD，連接FG，F(xiàn)E，
由CG=

1

3

SC，得FG∥CD，且FG=

2

3

CD
又AE=

1

3

AB，得BE∥CD，且BE=

2

3

CD
∴FG=BE，F(xiàn)G∥BE
∴BG∥FE
∵FE?平面SDE，BG?平面SDE
∴BG∥平面SDE…5分
（2）連接BD，在正方形ABCD中，BC=3，∴BD=3
∵SD丄底面ABCD，
∴SD⊥BD，又SB=3

3

，
∴SD=3…6分
又平面SAD⊥平面ABCD，平面SCD⊥平面ABCD，
∴BC⊥SC，BA⊥平面SAD，CD⊥平面SAD
設平面SAD與平面ABC所成的二面角的平面角為θ…9分
則cosθ=

S△SAD

S△SBC

=

1 2 •AD•SD

1 2 •BC•SC

=

2

2

∴θ=

π

4

即平面SAD與平面ABC所成的二面角的平面角為

π

4

…12分

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，其中（1）的關鍵是證得BG∥FE，（2）的關鍵是證得△SBC在平面SAD上的投影即為△SAD，則cosθ=

S△SAD

S△SBC

．