Question

（2012•湖南）設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）是最小正周期2π的偶函數(shù)，f′（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)，當x∈[0，π]時，0＜f（x）＜1； 當x∈（0，π） 且x≠

π

2

時，（x-

π

2

）f′（x）＞0，則函數(shù)y=f（x）-sinx在[-2π，2π]上的零點個數(shù)為（　　）

A．2

B．4

C．5

D．8

Answer 1

分析：根據(jù)x∈（0，π） 且x≠

π

2

時，（x-

π

2

）f′（x）＞0，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的圖形，即可得到結(jié)論．

解答：解：∵x∈（0，π） 且x≠

π

2

時，（x-

π

2

）f′（x）＞0
∴x∈（0，

π

2

），函數(shù)單調(diào)減，x∈（

π

2

，π），函數(shù)單調(diào)增
∵x∈[0，π]時，0＜f（x）＜1，
在R上的函數(shù)f（x）是最小正周期為2π的偶函數(shù)，在同一坐標系中作出y=sinx和y=f（x）草圖象如下，

由圖知y=f（x）-sinx在[-2π，2π]上的零點個數(shù)為4個．
故選B

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點，考查函數(shù)的周期性與奇偶性，屬于基礎(chǔ)題．