Question

【題目】各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}滿(mǎn)足 ，
（1）當(dāng)λ=an+1時(shí)，求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求其公比；
（2）當(dāng)λ=2時(shí)，令 ，記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn ， 數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)之積為T(mén)n ， 求證：對(duì)任意正整數(shù)n，2n+1Tn+Sn為定值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：當(dāng)λ=an+1時(shí)，an+1= +an，an＞0，

∴ = +1，

令 =q＞0，則q= +1，化為q2﹣q﹣1=0，解得q= ．

∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其公比q= ．

（2）當(dāng)λ=2時(shí)，an+1= +an，∴2an+1=an（an+2），

∴ = ．

∴Tn=b1b2b3…bn= … = = ．

又bn= = = = ﹣ ，

∴Sn=b1+b2+b3+…+bn= ﹣ + +…+ ﹣ = ﹣ ，

∴2n+1Tn+Sn= + ﹣ = =2．

∴對(duì)任意正整數(shù)n，2n+1Tn+Sn為定值2．

【解析】（1）先遞推式兩邊同時(shí)除以an，可得含有的方程，再令=q，可得含有q的方程，解方程可得q；（2）先化簡(jiǎn)整理可得bn=，再分別計(jì)算Tn和Sn，進(jìn)而可證對(duì)任意正整數(shù)n，2n+1Tn+Sn為定值．
【考點(diǎn)精析】掌握數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式是解答本題的根本，需要知道數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．