Question

【題目】已知函數(shù)．

（）若在處取得極值，求實數(shù)的值．

（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

（）若在上沒有零點，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（3）.

【解析】試題分析：（1）求導，根據(jù)題意得，解得，再檢驗即可；

（2）由，令，得增區(qū)間，令得減區(qū)間；

（3）要使在上沒有零點，只需在上或，又，只需在區(qū)間上，，進而轉(zhuǎn)為研究函數(shù)最小值即可.

試題解析：

（）的定義域為，且．

∵在處取得極值，

∴，解得或（舍），

當時，，；

，，

∴函數(shù)在處取得極小值，

故．

（）．

令，解得；

令，解得，

∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．

（）要使在上沒有零點，只需在上或，

又，只需在區(qū)間上，．

①當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，

解得與矛盾．

②當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

，

解得，

∴．

③當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

，滿足題意，

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是：．