Question

（2012•上海）對于數(shù)集X={-1，x₁，x₂，…，x_n}，其中0＜x₁＜x₂＜…＜x_n，n≥2，定義向量集Y={

a

|

a

=（s，t），s∈X，t∈X}，若對任意

a1

∈Y，存在

a2

∈Y，使得

a1

•

a2

=0，則稱X具有性質(zhì)P．例如{-1，1，2}具有性質(zhì)P．
（1）若x＞2，且{-1，1，2，x}具有性質(zhì)P，求x的值；
（2）若X具有性質(zhì)P，求證：1∈X，且當(dāng)x_n＞1時，x₁=1；
（3）若X具有性質(zhì)P，且x₁=1、x₂=q（q為常數(shù)），求有窮數(shù)列x₁，x₂，…，x_n的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）在Y中取

a1

=（x，2），根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式，可得Y中與

a1

垂直的元素必有形式（-1，b），所以x=2b，結(jié)合x＞2，可得x的值．
（2）取

a1

=（x₁，x₁），

a2

=（s，t）根據(jù)

a1

•

a2

=0，化簡可得s+t=0，所以s、t異號．而-1是數(shù)集X中唯一的負(fù)數(shù)，所以s、t中的負(fù)數(shù)必為-1，另一個數(shù)是1，從而證出1∈X，最后通過反證法，可以證明出當(dāng)x_n＞1時，x₁=1．
（3）[解法一]先猜想結(jié)論：x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n．記A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}，k=2，3，…，n，通過反證法證明出引理：若A_k+1具有性質(zhì)P，則A_k也具有性質(zhì)P．最后用數(shù)學(xué)歸納法，可證明出x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n；
[解法二]設(shè)

a1

=（s₁，t₁），

a2

=（s₂，t₂），則

a1

•

a2

=0等價于

s1

t1

=-

t2

s2

，得到一正一負(fù)的特征，再記B={

s

t

|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，則可得結(jié)論：數(shù)集X具有性質(zhì)P，當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)集B關(guān)于原點(diǎn)對稱．又注意到-1是集合X中唯一的負(fù)數(shù)，B∩（-∞，0）={-x₂，-x₃，-x₄，…，-x_n}，共有n-1個數(shù)，所以B∩（0．+∞）也有n-1個數(shù)．最后結(jié)合不等式的性質(zhì)，結(jié)合三角形數(shù)陣加以說明，可得

xn

xn-1

=

xn-1

xn-2

=…=

x2

x1

，最終得到數(shù)列的通項(xiàng)公式是x_k=x₁•（

x2

x1

）^k-1=q^k-1，k=1，2，3，…，n．

解答：解：（1）選取

a1

=（x，2），則Y中與

a1

垂直的元素必有形式（-1，b），所以x=2b，
又∵x＞2，∴只有b=2，從而x=4．
（2）取

a1

=（x₁，x₁）∈Y，設(shè)

a2

=（s，t）∈Y，滿足

a1

•

a2

=0，可得（s+t）x₁=0，s+t=0，所以s、t異號．
因?yàn)?1是數(shù)集X中唯一的負(fù)數(shù)，所以s、t中的負(fù)數(shù)必為-1，另一個數(shù)是1，所以1∈X，
假設(shè)x_k=1，其中1＜k＜n，則0＜x₁＜1＜x_n．
再取

a1

=（x₁，x_n）∈Y，設(shè)

a2

=（s，t）∈Y，滿足

a1

•

a2

=0，可得sx₁+tx_n=0，
所以s、t異號，其中一個為-1
①若s=-1，則x₁=tx_n＞t≥x₁，矛盾；
②若t=-1，則x_n=sx₁＜s≤x_n，矛盾；
說明假設(shè)不成立，由此可得當(dāng)x_n＞1時，x₁=1．
（3）[解法一]猜想：x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n
記A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}，k=2，3，…，n
先證明若A_k+1具有性質(zhì)P，則A_k也具有性質(zhì)P．
任取

a1

=（s，t），s、t∈A_k，當(dāng)s、t中出現(xiàn)-1時，顯然有

a2

滿足

a1

•

a2

=0
當(dāng)s、t中都不是-1時，滿足s≥1且t≥1．
因?yàn)锳_k+1具有性質(zhì)P，所以有

a2

=（s₁，t₁），s₁、t₁∈A_k+1，使得

a1

•

a2

=0，從而s₁、t₁其中有一個為-1
不妨設(shè)s₁=-1，
假設(shè)t₁∈A_k+1，且t₁∉A_k，則t₁=x_k+1．由（s，t）（-1，x_k+1）=0，得s=tx_k+1≥x_k+1，與s∈A_k矛盾．
所以t₁∈A_k，從而A_k也具有性質(zhì)P．
再用數(shù)學(xué)歸納法，證明x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n
當(dāng)n=2時，結(jié)論顯然成立；
假設(shè)當(dāng)n=k時，A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}具有性質(zhì)P，則x_i=q^i-1，i=1，2，…，k
當(dāng)n=k+1時，若A_k+1═{-1，x₁，x₂，…，x_k+1}具有性質(zhì)P，則A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}具有性質(zhì)P，
所以A_k+1═{-1，q，q²，…，q^k-1，x_k+1}．
取

a1

=（x_k+1，q），并設(shè)

a2

=（s，t）∈Y，滿足

a1

•

a2

=0，由此可得s=-1或t=-1
若t=-1，則x_k+1=

q

s

＜q，不可能
所以s=-1，x_k+1=qt=q^j≤q^k且x_k+1＞q^k-1，因此x_k+1=q^k
綜上所述，x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n
[解法二]設(shè)

a1

=（s₁，t₁），

a2

=（s₂，t₂），則

a1

•

a2

=0等價于

s1

t1

=-

t2

s2

記B={

s

t

|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，則數(shù)集X具有性質(zhì)P，當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)集B關(guān)于原點(diǎn)對稱
注意到-1是集合X中唯一的負(fù)數(shù)，B∩（-∞，0）={-x₂，-x₃，-x₄，…，-x_n}，共有n-1個數(shù)．
所以B∩（0，+∞）也有n-1個數(shù)．
由于

xn

xn-1

＜

xn

xn-2

＜

xn

xn-3

＜…＜

xn

x2

＜

xn

x1

，已經(jīng)有n-1個數(shù)
對以下三角形數(shù)陣：

xn

xn-1

＜

xn

xn-2

＜

xn

xn-3

＜…＜

xn

x2

＜

xn

x1

，
                 

xn-1

xn-2

＜

xn-1

xn-3

＜

xn-1

xn-4

＜…＜

xn-1

x1

                 …
                 

x2

x1

注意到

xn

x1

＞

xn-1

x1

＞

xn-2

x1

＞…＞

x2

x1

，所以

xn

xn-1

=

xn-1

xn-2

=…=

x2

x1

從而數(shù)列的通項(xiàng)公式是x_k=x₁•（

x2

x1

）^k-1=q^k-1，k=1，2，3，…，n．

點(diǎn)評：本題以向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算為載體，著重考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的探索、集合元素的性質(zhì)和數(shù)列與向量的綜合等知識點(diǎn)，屬于難題．本題是一道綜合題，請同學(xué)們注意解題過程中的轉(zhuǎn)化化歸思想、分類討論的方法和反證法的運(yùn)用．