Question

設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，對(duì)任意的n∈N^*，都有S_n=（m+1）-ma_n（m為常數(shù)，且m＞0）．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比q=f（m），數(shù)列{b_n}滿足b₁=2a₁，b_n=f（b_n-1）（n≥2，n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）在滿足（2）的條件下，求證：數(shù)列{b_n²}的前n項(xiàng)和Tn＜

89

18

．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n≥2時(shí)根據(jù)a_n=S_n-S_n-1化簡(jiǎn)整理得

an

an-1

=

m

1+m

，根據(jù)等比數(shù)列的定義即可判斷數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列．
（2）由（1）可求得q和a₁，進(jìn)而求得b₁，根據(jù)b_n=f（b_n-1）整理得即

1

bn

-

1

bn-1

=1進(jìn)而判斷數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)首項(xiàng)和公差，進(jìn)而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（3）根據(jù)（2）先可得出數(shù)列{b_n²}的通項(xiàng)公式bn2=

4

(2n-1)2

再根據(jù)

4

(2n-1)2

＜

4

2n(2n-2)

=

1

n-1

-

1

n

，通過(guò)裂項(xiàng)法求和即可證明原式．

解答：（1）證明：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=（m+1）-ma₁，解得a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=ma_n-1-ma_n．
即（1+m）a_n=ma_n-1．
∵m為常數(shù)，且m＞0，∴

an

an-1

=

m

1+m

（n≥2）
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為

m

1+m

的等比數(shù)列．
（2）解：由（1）得，q=f（m）=

m

1+m

，b₁=2a₁=2．
∵bn=f(bn-1)=

bn-1

1+bn-1

，
∴

1

bn

=

1

bn-1

+1，即

1

bn

-

1

bn-1

=1（n≥2）．
∴{

1

bn

}是首項(xiàng)為

1

2

，公差為1的等差數(shù)列．
∴

1

bn

=

1

2

+(n-1)•1=

2n-1

2

，即bn=

2

2n-1

（n∈N^*）．
（3）證明：由（2）知bn=

2

2n-1

，則bn2=

4

(2n-1)2

．
所以T_n=b₁²+b₂²+b₃²++b_n²=4+

4

9

+

4

25

++

4

(2n-1)2

，
當(dāng)n≥2時(shí)，

4

(2n-1)2

＜

4

2n(2n-2)

=

1

n-1

-

1

n

，
所以Tn=4+

4

9

+

4

25

++

4

(2n-1)2

＜4+

4

9

+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)++(

1

n-1

-

1

n

)=

40

9

+

1

2

-

1

n

＜

89

18

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比關(guān)系和等差關(guān)系的確定，及數(shù)列求和問(wèn)題．裂項(xiàng)法是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的．